El día que π estuvo a punto de valer 3,2

¿Te imaginas que se apruebe una ley que fije el valor de una constante matemática? Parece algo descabellado pero por increíble que parezca, estuvo a punto de ocurrir. La constante “afectada” era nada más y nada menos que el número π, que estuvo a punto de valer, por ley, 3,2.

Squaring_the_circle
Imagen: Wikimedia Commons

Para conocer la historia debemos trasladarnos al estado de Indiana en el siglo XIX. En esa época vivía allí un médico aficionado a las matemáticas llamado Edward J. Goodwin. Una de las obsesiones de Edward era resolver el viejo problema de la cuadratura del círculo. Este problema consiste en hallar, utilizando sólo regla y compás, un cuadrado que tenga exactamente el mismo área que un círculo. El problema con esto es que es imposible, salvo que eliminemos la restricción de “utilizando sólo regla y compás”.

Se da además la casualidad de que cuando Edward se estaba dedicando a intentar resolver este problema, el matemático Ferdinand von Lindemann ya había demostrado que el número π es un número que no es solución de ninguna ecuación polinómica de coeficientes racionales, lo que en matemáticas se conoce como número trascendente. Una de las consecuencias de que π sea un número trascendente es precisamente la imposibilidad de cuadrar un círculo.

Pero bueno, a lo que íbamos. Nuestro amigo Edward J. Goodwin se dedicaba en sus ratos libres a intentar resolver el problema de la cuadratura del círculo y, no dejándose amilanar por la demostración matemática de von Lindemann, que le condenaba al fracaso, siguió intentándolo hasta que finalmente creyó encontrar una solución. No sólo eso, sino que incluso convenció a la revista American Mathematical Monthly para que publicasen un artículo suyo con la demostración de la resolución del problema. Esta demostración no menciona directamente en ningún momento al número π, pero una de las consecuencias inmediatas era que el valor de dicha constante debería ser 3,2.

Hasta aquí mal, pero la historia no se quedó ahí. A la vista de su “existosa” demostración, Goodwin decidió no sólo publicarla, sino también patentarla, con la idea de cobrar un canon por el uso que otros (matemáticos, profesores, etc.) pudieran hacer de su idea. Pero como en el fondo también tenía su corazoncito, decidió permitir que en su estado natal, Indiana, pudiesen utilizarla gratis, y aquí es donde se organiza el lío completo. El trato que Goodwin ofrece al estado de Indiana es que pueden utilizar su demostración de la cuadratura del círculo gratis si y solo si aceptan adoptar esta “nueva verdad matemática” como ley estatal. Goodwin se las ingenió para convencer al representante Taylor I. Record para que presentase formalmente esta propuesta de ley, conocida formalmente como House Bill 246.

En esta propuesta, que es como poco delirante, se afirma textualmente que “la relación entre el diámetro y la longitud de la circunferencia es de cinco cuartos a cuatro“. La relación entre la longitud de la circunferencia (2·π·r) y su diámetro (2·r) es precisamente π, y como 4 entre 5/4 es igual a 3,2, entonces necesariamente π tiene que valer 3,2. Pero lo mejor es que no se queda ahí, sino que más adelante afirma haber encontrado también las soluciones a los problemas de la trisección del ángulo y de la duplicación del cubo, problemas que dice “han sido abandonados por los científicos por considerarlos misterios irresolubles que se escapan a la capacidad de comprensión humana“. Así, con un par.

Se ve que los legisladores de Indiana no tenían muchas nociones de matemáticas, ya que la propuesta de ley fue prosperando y se llegó a aprobar en la comisión de Educación con el voto unánime de los 67 representantes. Los legisladores no eran capaces de entender el absurdo razonamiento seguido por Goodwin en su demostración, y no eran conscientes de las implicaciones de la aprobación de la propuesta más allá de que su estado iba a poder utilizar gratuitamente una nueva teoría matemática, lo cual no podía ser malo. De hecho, en la sesión se afirmaron cosas como que “…el caso es muy sencillo. Si aprobamos este proyecto de ley que establece un nuevo y correcto valor de π, el autor ofrece a nuestro estado la posibilidad de utilizar su descubrimiento de forma gratuita, además de poder publicarlo en nuestros libros de texto, mientras que todos los demás deberán pagarle derechos“.

ProfWaldo99

A estas alturas la noticia de que en Indiana se estaba tramitando una ley que redefinía el valor del número π ya se había propagado a todo el país, y muchas revistas y periódicos se hacían eco de la noticia y no salían de su asombro por tan curiosa iniciativa legislativa.

Y aquí hace su aparición nuestro héroe del día. El mismo día en que la propuesta de ley se estaba aprobando en la comisión dio la casualidad de que por allí andaba un matemático llamado Clarence A. Waldo, a quien le llamó la atención que en la asamblea se estuviese discutiendo de matemáticas, así que se acercó a escuchar. Inmediatamente Waldo se dio cuenta de todas las incongruencias presentes en la teoría, y no se lo podía creer. Al parecer, tras el debate algunas personas le ofrecieron presentarle a Goodwin, pero Waldo dijo que ya había conocido a suficientes locos en su vida.

Sin dudarlo, Waldo se dedicó a convencer a los senadores de que aprobar esa propuesta era una idea realmente pésima. Cuando por fin se llegó a debatir en el senado, los senadores se dedicaron a ridiculizar el documento sin compasión durante media hora. Finalmente se pospuso indefinidamente la votación de la propuesta y hasta hoy el estado de Indiana no ha vuelto a intentar reescribir los principios básicos de las matemáticas.

Imagen de cabecera: Kate & Ian, Flickr

Feliz día de π

Hoy, al menos según el formato de fecha de Estados Unidos, se celebra el día de Pi, ya que es Marzo 14 (3,14).

Para celebrarlo, te presento un método de cálculo del valor del número $$\pi$$ que se aleja de a lo que estamos acostumbrados. Tan sólo necesitas un papel con unas cuantas rayas dibujadas y un montón de agujas.

Vamos a hablar del problema de la aguja de Buffon. Se trata de un problema de estadística geométrica propuesto en el siglo XVIII por Georges-Louis Leclerc, conde de Buffon. Según este procedimiento, es posible obtener una buena estima del número $$\pi$$ dejando caer agujas sobre un papel donde habremos marcado unas cuantas rayas.

Sin meternos en demasiada estadística, la idea es que si la aguja se tira de forma que tanto su posición como su ángulo sean aleatorios, ambas variables pueden considerarse como independientes, y la probabilidad de que al caer cruce una de las líneas pintadas en el papel es (te ahorro la integral):

$$! P = \frac{2l}{t \pi}$$

donde $$l$$ es la longitud de la aguja y $$t$$ la distancia entre líneas (he supuesto que $$l < t$$, lo que se conoce como problema de la aguja corta).

En nuestro caso la distancia entre las rayas es exactamente el doble de la longitud de las agujas ($$2l = t$$), con lo que se puede calcular el valor de $$\pi$$ sencillamente como:

$$! \pi \approx \frac{n}{c}$$

siendo $$n$$ el número de agujas que hemos tirado y $$c$$ cuántas han caído cruzando una línea.

Aquí tienes un vídeo con una simulación con hasta 10.000 agujas:

En esta página puedes encontrar un applet de Java que te permite hacer tú mismo el experimento.

Imagen de cabecera: Flickr

Las series de Fourier, con escuadra y cartabón

Veo en Tumblr esta imagen, de un libro de 1929 en el que se explica cómo calcular las series de Fourier para una determinada curva de forma gráfica (haz click sobre la imagen para verla a tamaño completo):fourier_constructionLas series de Fourier son una herramienta matemática con muchísimas aplicaciones en campos tan diversos como la acústica, el procesado de imagen, la economía, etc.

Lo que dice Fourier, básicamente, es que podemos descomponer cualquier función periódica $$f(x)$$ como una suma de senos y cosenos, de la siguiente forma:

$$!f(x) \approx \frac{a_0}{2} + a_1 cos (\omega x) + a_2 cos (2 \omega x) + \cdots + a_n cos (n \omega x) + b_1 sen (\omega x) + b_2 sen (2 \omega x) + \cdots + b_n sen (n \omega x)$$

Donde los coeficientes $$a_k$$ y $$b_k$$ vienen dados por:

$$! a_k = \frac{2}{T} \int_0^T f(x) cos (k \omega x) dx$$

$$!b_k = \frac{2}{T} \int_0^T f(x) sen (k \omega x) dx$$

El gran problema aquí son las integrales. Una integral no deja de ser una suma, aunque con infinitos términos, que es lo que las hace algo más engorrosas. Una forma de resolver estas integrales es de forma analítica, utilizando el teorema fundamental del cálculo (el que dice que derivación e integración son operaciones inversas). Pero esta no es la única forma. Las integrales también se pueden resolver de forma aproximada utilizando métodos numéricos. Si pensamos que una integral de una función entre dos puntos ($$0$$ y $$T$$ en nuestro caso) no representa otra cosa más que el área encerrada bajo la curva entre esos dos puntos, lo único que tenemos que hacer para calcularla es inventarnos algún modo de estimar ese área de forma sencilla. Esto es lo que se hace en la vida real cuando se necesita calcular el valor de una integral que de otro modo no sería posible resolver (o sería demasiado complicado).

En lo que se basa el método del libro es en utilizar un método gráfico para realizar estas aproximaciones. Vale, quizás no se trata del método más exacto ni más rápido para calcular las series de Fourier, pero sí es curioso.

Otro procedimiento parecido consiste en utilizar la fórmula de los trapecios para aproximar ese área, tal y como se explica en este otro libro:

Fourier1

Fourier2Las páginas anteriores están extraídas del libro “Manual de matemáticas para ingenieros“, una joya que recomiendo a cualquier estudiante de ingeniería como obra de consulta.

Imagen de cabecera: Wikimedia Commons

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Pitágoras, las matemáticas y la música

Pitágoras

Te propongo un experimento. Toma una cuerda de 1 metro de longitud, ténsala y hazla vibrar. Verás que reproduce una nota musical, que será función, entre otras cosas, de su longitud. Así, cuanto más larga sea la cuerda, más grave será la nota. Nosotros llamaremos “Do” a la nota que hemos reproducido con nuestra cuerda de un metro.

Ahora coge otra cuerda, y prueba a tocarla a la vez que la primera, pero variando su longitud. Si lo haces, te darás cuenta de que hay veces en que las notas producidas por las dos cuerdas suenan mejor y otras suenan peor.

Estos son, por ejemplo, algunos casos en los que las dos notas suenan bien simultáneamente (lo que en música se llama “consonancia”):

Y estos son algunos ejemplos de notas que no suenan bien juntas, produciendo tensión (“disonancia”):

Si repites el experimento unas cuantas veces, con distintas longitudes de la cuerda, es posible que llegues a la conclusión de que si la relación entre las longitudes de las dos cuerdas viene dada por una fracción simple, con números enteros en numerador y denominador, las notas que producen ambas suenan bien juntas. Así, el mejor caso es cuando una cuerda tiene el doble de longitud que la otra (relación 2/1), y otros casos favorables son cuando la relación de longitudes es 4/3 ó 3/2.

Viajemos a esa época y pongámonos en la piel de los pitagóricos, quienes realizaron el mismo experimento que nosotros acabamos de hacer, llegando a nuestras mismas conclusiones. Además, para los pitagóricos los números naturales, y especialmente los cuatro primeros (que ellos llamaban tetrakis), tenían un significado muy especial. Te puedes imaginar cuánto les llamó la atención el resultado del experimento: las tres relaciones de longitud a las que llegamos incluyen esos cuatro números, y ninguno más. A estos tres intervalos (2/1, 4/3 y 3/2) les llamaron diapasón, diatesarón y diapente respectivamente, aunque hoy en día los conocemos como octava, cuarta y quintay suenan así:

Octava – (Relación 2/1)

Cuarta – (Relación 4/3)

Quinta – (Relación 3/2)

Volvamos a nuestras cuerdas, y vamos a pintar lo que teníamos hasta ahora. A las dos notas intermedias que nos han salido, en las distancias 4/3 y 3/2 les vamos a llamar “Fa” y “Sol” respectivamente. Además, para no liarnos, he llamado “Do” a la nota que emite la cuerda de 1 metro, y “DO” (con las dos mayúsculas) a aquella emitida por la cuerda con una longitud doble (2m).

EscalaPitagorica_1

Ya que estamos con los pitagóricos, conviene que sepas que además tenían una verdadera obsesión con las medias. No, no es que fuesen fetichistas (que no lo sé). Estoy hablando de otro tipo de medias, en concreto de las medias aritmética, geométrica y armónica.

La media aritmética se define como:

$$!\bar{x} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_N}{N}$$

En nuestro caso, si calculamos la media aritmética de las dos longitudes que nos marcan la octava (1m y 2m) tenemos que:

$$!\bar{x} = \frac{1+2}{2} = \frac{3}{2}$$

Que coincide con el valor de la quinta, esa nota que habíamos llamado “Sol”. Esto tiene que ser una señal de que estamos haciendo las cosas bien.

Por su parte, la media armónica se calcula como el inverso de la media aritmética de los inversos de los números, o lo que es lo mismo:

$$! H = \frac{N}{\sum_{i=1}^{N} \frac{1}{x_i}} = \frac{N}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_N}}$$

Igual que antes, si calculamos la media armónica de los dos intervalos de la octava tenemos:

$$!H = \frac{2}{\frac{1}{1} + \frac{1}{2}} = \frac{4}{3}$$

¡Exactamente el valor de lo que llamamos cuarta (nuestro “Fa”)!

Bueno, ya han salido las dos notas que habíamos deducido de otra forma. ¿Qué nos deparará la media geométrica?. Esta se calcula como la raíz enésima del producto de los números:

$$!\bar{x} = \sqrt[N]{\prod_{i=1}^{N} x_i} = \sqrt[N]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n}$$

Y aplicada a nuestro caso:

$$!\bar{x} = \sqrt{1 \cdot 2} = \sqrt{2}$$

Y aquí es donde viene el problema, porque $$\sqrt{2}$$ es un número irracional, es decir, un número que no podemos representar como una fracción de enteros. A los pitagóricos estos números, que ellos llamaban incomensurables, no les hacían nada de gracia, y por tanto decidieron descartar este resultado e intentar ir por otro camino.

¿Qué otro método podemos utilizar para terminar de construir nuestra escala musical? Si recordamos, la nota que hemos llamado “Sol” es la quinta de “Do”. Podemos intentar calcular la quinta de “Sol”, y luego la quinta de esta quinta, y así sucesivamente. Como hemos visto, para calcular la quinta de una nota basta con multiplicar por $$\frac{3}{2}$$ la longitud de la cuerda, así que ¡manos a la obra!.

¿Cuál será la quinta de “Sol”? Según lo que acabamos de decir, la longitud deberá ser la de “Sol” multiplicada por $$\frac{3}{2}$$, es decir:

$$!\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{4}$$

El problema es que nos hemos salido de nuestra octava, ya que $$\frac{9}{4}$$ es mayor que 2. Bueno, no pasa nada, lo que podemos hacer es dividir el resultado por dos y solucionado, ya que sabemos que lo que obtendremos es la misma nota pero en una octava inferior.

Así que ya tenemos una nota nueva, que vamos a llamar “Re”, y nuestra escala por tanto nos quedaría así:

EscalaPitagorica_2b

¿Y por qué no seguimos? No hay ninguna razón para no hacerlo. Si queremos calcular la quinta del Re, no tenemos más que multiplicar por $$\frac{3}{2}$$ el valor de la quinta del Do:

$$!\frac{9}{4} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3^3}{2^3} = \frac{27}{8}$$

Igual que antes, como el resultado es mayor que 2, lo dividimos entre 2 hasta que entre en nuestra octava, así tenemos $$\frac{27}{16}$$, y a esta nota le llamaremos “La”.

EscalaPitagorica_3

Ya va quedando menos. Si volvemos a multiplicar por $$\frac{3}{2}$$ y dividimos por 2 hasta que el valor esté entre 1 y 2 obtenemos $$\frac{3^4}{2^6}$$ (me paso ahora a la notación en exponentes para no manejar números tan grandes). Esta nota será el “Mi”.

EscalaPitagorica_4

Por último, volvemos a multiplicar por $$\frac{3}{2}$$ y obtenemos una nota más que, lo adivinaste, llamaremos Si.

EscalaPitagorica_5

Ahora estarás pensando… ya, claro, has hecho trampas. Te has parado después de calcular el “Si” porque sabes que es la última nota. ¿Por qué no sigues calculando quintas?

Si quieres, adelante, vamos a seguir calculando las quintas. Eso sí, permíteme que le ponga nombre a las notas que vayan saliendo, seguro que lo entiendes. A partir del “Si” me han ido saliendo, en este orden, el “Fa#”, “Do#”, “Sol#”, “Re#” y finalmente “La#”.

EscalaPitagorica_6

Y nos volvemos a parar aquí. La última quinta que he calculado ha sido la de valor $$\frac{3^{10}}{2^{10}}$$ (que dividida por dos hasta que entre en nuestra octava se queda en $$\frac{3^{10}}{2^{15}}$$). ¿Por qué no sigo? Bueno, ahora sí que tengo una explicación. Si calculo la siguiente quinta, obtendremos que vale $$\frac{3^{11}}{2^{17}}$$, que es un valor muy parecido a $$\frac{4}{3}$$ (1,35 frente a 1,33), por lo que no parece descabellado considerar que son la misma nota.

Si sigo, y calculo otra quinta más, tendré $$\frac{3^{12}}{2^{12}}$$, y si hacemos la cuenta, esto da algo muy parecido a 2 (exactamente 2,02). Con esto, podemos considerar que ya hemos cerrado el círculo, y por tanto ahora sí que tenemos un buen motivo para parar aquí.

El mayor problema de la escala que hemos construido (que por si no lo habías adivinado, se conoce como escala pitagórica) es este “parecido” que acabo de decir. Dicho de otro modo, que las doce quintas no suman exactamente una octava, sino un poquito más. A la diferencia entre lo que miden doce quintas y lo que mide una octava es a lo que se le llamó coma pitagórica.

La principal consecuencia de la coma pitagórica es que si queremos trasladar una melodía de una tonalidad a otra (por ejemplo, de “Do” a “Do#”) necesitamos cambiar la afinación de los instrumentos, y eso no es demasiado práctico, la verdad.

No fue hasta el siglo XVI ó XVII cuando se desarrolló la escala que hoy utilizamos normalmente: la escala temperada. Esta escala se construye dividiendo la octava en 12 partes iguales (12 semitonos). Así, logramos que desaparezca la coma pitagórica aunque a cambio pagamos el precio de perder las proporciones justas de quinta y cuarta (esos $$3/2$$ y $$4/3$$ que tanto gustaban a los pitagóricos). Dicho de otro modo, sacrificamos consonancia por simetría.

¿Cómo podemos construir esta escala? Tenemos que calcular el valor del intervalo $$x$$ que divide nuestra octava en 12 semitonos de igual longitud. Si a nuestra primera nota, el “Do”, le asignamos la posición $$1$$, la siguiente nota (el “Do#”) estará en la posición $$x$$, la segunda en $$x^2$$, y así sucesivamente hasta el “DO” de la octava superior, que estará en la posición $$x^{12}$$. Como sabemos que la relación entre octavas es de 2/1, se debe cumplir por tanto que:

$$!x^{12} = 2$$

Y despejando $$x$$ en esta ecuación tenemos que:

$$!x = \sqrt[12]{2} = 2^{1/12}$$

Ya así, de esta forma tan sencilla hemos construido la escala temperada, a la que estamos acostumbrados, que gráficamente queda de la siguiente forma:

EscalaTemperada

Es decir, para pasar de una nota a la siguiente basta con multiplicar por $$2^{1/12}$$.

Si has llegado hasta aquí, te mereces un extra. ¿Sabes de dónde vienen los nombres de las notas? Tienen su origen en la edad media, cuando el italiano Guido de Arezzo utilizó la primera sílaba de un himno dedicado a San Juan para darles nombres a las notas:

Ut queant laxis
Resonare libris
Mira gestorum
Famuli tuorum
Solve polluti
Labii reatum
Sancte Joannes

La primera nota “Ut” no triunfó, ya que es difícil de pronunciar, y se acabó sustituyendo por “Do”.

¿Y el “Si”? Ese viene a partir de las iniciales de San Juan, que por aquel entonces se llamaba Sante Ioanes.

Imagen de cabecera: Enrique Alexandre
Ilustración de Pitágoras: Wikimedia Commons

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La falacia del jugador

Imaginemos que tiramos una moneda al aire y sale cara. No es nada extraño, ya que teóricamente la probabilidad de que suceda eso es $$\frac{1}{2}$$ (suponiendo que no hayamos leído este estudio).

Repetimos la jugada otras cuatro veces más, y en todas ellas el resultado es cara. Esto ya parece más extraño, ya que la probabilidad de que al tirar una moneda cinco veces seguidas siempre salga cara es:

$$!\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2^5} = 0.03125$$

En este momento te pido que apuestes qué va a salir en la siguiente tirada. El razonamiento que hace la mayor parte de la gente en este punto es:

La probabilidad de que salgan 6 caras seguidas, utilizando el mismo razonamiento que antes, es $$\frac{1}{2^6} = 0.015625$$. Esta es una probabilidad muy pequeña, por lo que lo más probable será que la próxima vez que tiremos la moneda salga cruz, así que eso es lo que apostaré.

Si has pensado esto has caído en la trampa. ¿No lo ves? Vamos a pensar sobre ello. Cada vez que tiramos la moneda al aire, el resultado que obtenemos es independiente de lo que sea que haya ocurrido en los lanzamientos anteriores. Por tanto, cada vez que tiremos la moneda al aire la probabilidad de que salga cara o cruz es siempre la misma: $$\frac{1}{2}$$, independientemente de lo que haya sucedido antes. Dicho de otra manera: Los resultados pasados no tienen ninguna influencia en el futuro.

¿Todavía no lo ves claro? Bien, pues pensemos… ¿Cuál sería la probabilidad de que al tirar la moneda seis veces seguidas salgan 6 caras? Lo hemos visto antes, sería $$\frac{1}{2^6} = 0.015625$$. Bien, y ¿la probabilidad de que al tirar la moneda seis veces seguidas salgan cinco caras seguidas de una cruz? El resultado es el mismo de antes: $$\frac{1}{2^5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2^6}$$.

Como curiosidad, la falacia del jugador también se conoce como falacia Monte Carlo, ya que en 1913, en un casino de esta ciudad la bola de la ruleta cayó 26 veces seguidas en el 26 negro. La gente que estaba apostando en la mesa perdió millones apostando contra el negro pensando erróneamente que si había habido una racha larga en un sentido se tendría que compensar con otra en el sentido contrario.

La raíz de todo este problema es el pensar que sucesos anteriores pueden influir en sucesos futuros, y que por tanto una racha de resultados en un sentido se tiene que compensar inmediatamente por medio de otra racha en el sentido contrario. Hay una anécdota que dice que un profesor una vez pidió a sus alumnos que, como tarea para realizar en casa, tirasen una moneda 100 veces al aire y anotasen el resultado. Al día siguiente, cuando los estudiantes le entregaron sus resultados, el profesor fue capaz de distinguir perfectamente quiénes habían realizado la tarea realmente y quiénes se habían inventado los resultados para acabar antes. No sé si la anécdota es cierta, pero sí podría serlo, ya que existen aplicaciones como la de este enlace que permiten detectar automáticamente este tipo de hechos.

El mismo razonamiento que hemos utilizado para las monedas se puede aplicar, por ejemplo, a la creencia que muchas veces se tiene de que si juegas al mismo número de la lotería todos los años es más probable que te toque. En realidad la probabilidad de que salga cualquier número es la misma en cada sorteo, así que no hay diferencia entre jugar el mismo número todos los años o cambiarlo.

Como extra, y por el mismo precio, os dejo este vídeo en el que se explica el problema de forma muy clara:

Exámenes tipo test y estadística

Seguramente todos hemos tenido que hacer alguna vez en nuestra vida un examen tipo test, y con casi total seguridad alguno de ellos habrá sido de los temidos “que restan”. El caso más normal es un examen con 4 respuestas posibles, de las cuales sólo una es verdadera, y que descuenta 1/3 de punto por cada error que se cometa.

Pues bien, este valor no es aleatorio, y el hacer que los errores resten puntos tiene sentido, al menos desde el punto de vista del profesor. Otra cosa es que nos guste la idea, pero eso ya es otro cantar.

La idea de la que partimos es la siguiente: si el estudiante hace el test al azar, sin tener ni idea, debería sacar un cero.

Con esto en mente vamos a remangarnos y ponernos manos a la masa. Supongamos que tenemos un examen tipo test que consta de $$N$$ preguntas con $$M$$ respuestas posibles en cada pregunta, de las que sólo una es cierta. Que el estudiante haga el test al azar quiere decir que cualquiera de las $$M$$ respuestas posibles tiene la misma probabilidad de resultar elegida.

Supongamos ahora que por cada pregunta acertada sumamos un punto y que por cada pregunta fallada restamos $$x$$. Lo que tendremos es que para cada pregunta, la probabilidad de que acierte y sume un punto será $$\frac{1}{M}$$ y la probabilidad de que se equivoque y por tanto reste $$x$$ puntos será $$\frac{M-1}{M}$$.

Pues bien, con esto ya podemos calcular la esperanza matemática de la puntuación en una pregunta cualquiera, $$n_i$$, multiplicando las probabilidades de cada una de las cosas que pueden suceder por la puntuación que obtendríamos en ese caso:

$$!E[n_i] = \frac{1}{M} \cdot 1 + \frac{M-1}{M}\cdot (-x)$$

Si operamos un poco podemos dejar la expresión de la siguiente forma, algo más cómoda para trabajar:

$$!E[n_i] = \frac{1 – x \cdot (M-1)}{M}$$

Para calcular la calificación total del examen, lo que hacemos es sumar la puntuación obtenida en cada una de las ‘N’ preguntas, es decir:

$$!Nota = \frac{10}{N} \sum_{i=1}^{N} n_i$$

(El término $$10/N$$ sirve para normalizar la nota sobre 10 puntos independientemente del número de preguntas que haya en el test, aunque no afecta para nada al resultado de la demostración.)

La esperanza matemática es lineal, y por tanto podemos calcular la esperanza matemática de la nota final del examen como la suma de las esperanzas matemáticas de cada una de las notas individuales:

$$!E[Nota] =E \left [ \frac{10}{N} \sum_{i=1}^{N} n_i \right ] = \frac{10}{N} \sum_{i=1}^{N} E[n_i] $$

Sustituyendo el valor de $$E[n_i]$$ en la expresión anterior:

$$!E[Nota] = \frac{10}{N} \cdot \frac{N}{M} \cdot \left ( 1 – x \cdot \left (M-1 \right ) \right )$$

Si ahora recordamos nuestro objetivo inicial, que era que el estudiante obtenga un cero si realiza el test completamente al azar, no tememos más que igualar la expresión anterior a cero,

$$!E[Nota]=\frac{10}{N}\cdot\frac{N}{M} \cdot \left ( 1 – x \cdot \left (M-1 \right ) \right ) = 0$$

Por último sólo queda despejar el valor de x, con lo que se obtiene:

$$!x = \frac{1}{M-1}$$

Si pensamos ahora en el caso típico del que hablábamos al principio en el que había 4 respuestas posibles (M=4), podemos entender que cada error reste precisamente 1/3.

Si te toca hacer un examen de este tipo mi consejo es que en primer lugar te leas con mucha calma las preguntas y después contestes sólo a aquellas preguntas de las que estés seguro. Después, calcula la nota que sacarías sólo con esas respuestas, y valora cuántas de las otras preguntas, en las que tienes dudas, te puedes permitir responder sin asumir demasiados riesgos. Ten en cuenta que habrá preguntas en las que dudes sólo entre dos de las respuestas, por lo que en media por cada dos que contestes sacarás $$\frac{2}{3}$$ puntos.

NOTA: La idea para esta entrada ha surgido de esta noticia.

Imagen: Flickr