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El clave bien temperado

Después de la última entrada, en la que hablábamos de las escalas musicales, no se me ocurre mejor banda sonora para el fin de semana que “el clave bien temperado”, de Johann Sebastian Bach.

Se trata de una obra que demuestra que un instrumento afinado según la escala temperada (esa según la cual la distancia entre cada par de notas es siempre la misma) puede interpretar una pieza en todas las claves posibles (mayores y menores) sin necesidad de reafinaciones.

En primer lugar te propongo la puerta de entrada a toda la obra, el preludio y fuga en Do Mayor, interpretado por Friedrich Gulda:

Y, también del primer libro, el preludio y fuga en La menor interpretado esta vez por Evgeni Koroliov:

Buen fin de semana 😉

Pitágoras, las matemáticas y la música

Pitágoras

Te propongo un experimento. Toma una cuerda de 1 metro de longitud, ténsala y hazla vibrar. Verás que reproduce una nota musical, que será función, entre otras cosas, de su longitud. Así, cuanto más larga sea la cuerda, más grave será la nota. Nosotros llamaremos “Do” a la nota que hemos reproducido con nuestra cuerda de un metro.

Ahora coge otra cuerda, y prueba a tocarla a la vez que la primera, pero variando su longitud. Si lo haces, te darás cuenta de que hay veces en que las notas producidas por las dos cuerdas suenan mejor y otras suenan peor.

Estos son, por ejemplo, algunos casos en los que las dos notas suenan bien simultáneamente (lo que en música se llama “consonancia”):

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Y estos son algunos ejemplos de notas que no suenan bien juntas, produciendo tensión (“disonancia”):

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Si repites el experimento unas cuantas veces, con distintas longitudes de la cuerda, es posible que llegues a la conclusión de que si la relación entre las longitudes de las dos cuerdas viene dada por una fracción simple, con números enteros en numerador y denominador, las notas que producen ambas suenan bien juntas. Así, el mejor caso es cuando una cuerda tiene el doble de longitud que la otra (relación 2/1), y otros casos favorables son cuando la relación de longitudes es 4/3 ó 3/2.

Viajemos a esa época y pongámonos en la piel de los pitagóricos, quienes realizaron el mismo experimento que nosotros acabamos de hacer, llegando a nuestras mismas conclusiones. Además, para los pitagóricos los números naturales, y especialmente los cuatro primeros (que ellos llamaban tetrakis), tenían un significado muy especial. Te puedes imaginar cuánto les llamó la atención el resultado del experimento: las tres relaciones de longitud a las que llegamos incluyen esos cuatro números, y ninguno más. A estos tres intervalos (2/1, 4/3 y 3/2) les llamaron diapasón, diatesarón y diapente respectivamente, aunque hoy en día los conocemos como octava, cuarta y quintay suenan así:

Octava – (Relación 2/1)
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Cuarta – (Relación 4/3)
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Quinta – (Relación 3/2)
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Volvamos a nuestras cuerdas, y vamos a pintar lo que teníamos hasta ahora. A las dos notas intermedias que nos han salido, en las distancias 4/3 y 3/2 les vamos a llamar “Fa” y “Sol” respectivamente. Además, para no liarnos, he llamado “Do” a la nota que emite la cuerda de 1 metro, y “DO” (con las dos mayúsculas) a aquella emitida por la cuerda con una longitud doble (2m).

EscalaPitagorica_1

Ya que estamos con los pitagóricos, conviene que sepas que además tenían una verdadera obsesión con las medias. No, no es que fuesen fetichistas (que no lo sé). Estoy hablando de otro tipo de medias, en concreto de las medias aritmética, geométrica y armónica.

La media aritmética se define como:

$$!\bar{x} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_N}{N}$$

En nuestro caso, si calculamos la media aritmética de las dos longitudes que nos marcan la octava (1m y 2m) tenemos que:

$$!\bar{x} = \frac{1+2}{2} = \frac{3}{2}$$

Que coincide con el valor de la quinta, esa nota que habíamos llamado “Sol”. Esto tiene que ser una señal de que estamos haciendo las cosas bien.

Por su parte, la media armónica se calcula como el inverso de la media aritmética de los inversos de los números, o lo que es lo mismo:

$$! H = \frac{N}{\sum_{i=1}^{N} \frac{1}{x_i}} = \frac{N}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_N}}$$

Igual que antes, si calculamos la media armónica de los dos intervalos de la octava tenemos:

$$!H = \frac{2}{\frac{1}{1} + \frac{1}{2}} = \frac{4}{3}$$

¡Exactamente el valor de lo que llamamos cuarta (nuestro “Fa”)!

Bueno, ya han salido las dos notas que habíamos deducido de otra forma. ¿Qué nos deparará la media geométrica?. Esta se calcula como la raíz enésima del producto de los números:

$$!\bar{x} = \sqrt[N]{\prod_{i=1}^{N} x_i} = \sqrt[N]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n}$$

Y aplicada a nuestro caso:

$$!\bar{x} = \sqrt{1 \cdot 2} = \sqrt{2}$$

Y aquí es donde viene el problema, porque $$\sqrt{2}$$ es un número irracional, es decir, un número que no podemos representar como una fracción de enteros. A los pitagóricos estos números, que ellos llamaban incomensurables, no les hacían nada de gracia, y por tanto decidieron descartar este resultado e intentar ir por otro camino.

¿Qué otro método podemos utilizar para terminar de construir nuestra escala musical? Si recordamos, la nota que hemos llamado “Sol” es la quinta de “Do”. Podemos intentar calcular la quinta de “Sol”, y luego la quinta de esta quinta, y así sucesivamente. Como hemos visto, para calcular la quinta de una nota basta con multiplicar por $$\frac{3}{2}$$ la longitud de la cuerda, así que ¡manos a la obra!.

¿Cuál será la quinta de “Sol”? Según lo que acabamos de decir, la longitud deberá ser la de “Sol” multiplicada por $$\frac{3}{2}$$, es decir:

$$!\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{4}$$

El problema es que nos hemos salido de nuestra octava, ya que $$\frac{9}{4}$$ es mayor que 2. Bueno, no pasa nada, lo que podemos hacer es dividir el resultado por dos y solucionado, ya que sabemos que lo que obtendremos es la misma nota pero en una octava inferior.

Así que ya tenemos una nota nueva, que vamos a llamar “Re”, y nuestra escala por tanto nos quedaría así:

EscalaPitagorica_2b

¿Y por qué no seguimos? No hay ninguna razón para no hacerlo. Si queremos calcular la quinta del Re, no tenemos más que multiplicar por $$\frac{3}{2}$$ el valor de la quinta del Do:

$$!\frac{9}{4} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3^3}{2^3} = \frac{27}{8}$$

Igual que antes, como el resultado es mayor que 2, lo dividimos entre 2 hasta que entre en nuestra octava, así tenemos $$\frac{27}{16}$$, y a esta nota le llamaremos “La”.

EscalaPitagorica_3

Ya va quedando menos. Si volvemos a multiplicar por $$\frac{3}{2}$$ y dividimos por 2 hasta que el valor esté entre 1 y 2 obtenemos $$\frac{3^4}{2^6}$$ (me paso ahora a la notación en exponentes para no manejar números tan grandes). Esta nota será el “Mi”.

EscalaPitagorica_4

Por último, volvemos a multiplicar por $$\frac{3}{2}$$ y obtenemos una nota más que, lo adivinaste, llamaremos Si.

EscalaPitagorica_5

Ahora estarás pensando… ya, claro, has hecho trampas. Te has parado después de calcular el “Si” porque sabes que es la última nota. ¿Por qué no sigues calculando quintas?

Si quieres, adelante, vamos a seguir calculando las quintas. Eso sí, permíteme que le ponga nombre a las notas que vayan saliendo, seguro que lo entiendes. A partir del “Si” me han ido saliendo, en este orden, el “Fa#”, “Do#”, “Sol#”, “Re#” y finalmente “La#”.

EscalaPitagorica_6

Y nos volvemos a parar aquí. La última quinta que he calculado ha sido la de valor $$\frac{3^{10}}{2^{10}}$$ (que dividida por dos hasta que entre en nuestra octava se queda en $$\frac{3^{10}}{2^{15}}$$). ¿Por qué no sigo? Bueno, ahora sí que tengo una explicación. Si calculo la siguiente quinta, obtendremos que vale $$\frac{3^{11}}{2^{17}}$$, que es un valor muy parecido a $$\frac{4}{3}$$ (1,35 frente a 1,33), por lo que no parece descabellado considerar que son la misma nota.

Si sigo, y calculo otra quinta más, tendré $$\frac{3^{12}}{2^{12}}$$, y si hacemos la cuenta, esto da algo muy parecido a 2 (exactamente 2,02). Con esto, podemos considerar que ya hemos cerrado el círculo, y por tanto ahora sí que tenemos un buen motivo para parar aquí.

El mayor problema de la escala que hemos construido (que por si no lo habías adivinado, se conoce como escala pitagórica) es este “parecido” que acabo de decir. Dicho de otro modo, que las doce quintas no suman exactamente una octava, sino un poquito más. A la diferencia entre lo que miden doce quintas y lo que mide una octava es a lo que se le llamó coma pitagórica.

La principal consecuencia de la coma pitagórica es que si queremos trasladar una melodía de una tonalidad a otra (por ejemplo, de “Do” a “Do#”) necesitamos cambiar la afinación de los instrumentos, y eso no es demasiado práctico, la verdad.

No fue hasta el siglo XVI ó XVII cuando se desarrolló la escala que hoy utilizamos normalmente: la escala temperada. Esta escala se construye dividiendo la octava en 12 partes iguales (12 semitonos). Así, logramos que desaparezca la coma pitagórica aunque a cambio pagamos el precio de perder las proporciones justas de quinta y cuarta (esos $$3/2$$ y $$4/3$$ que tanto gustaban a los pitagóricos). Dicho de otro modo, sacrificamos consonancia por simetría.

¿Cómo podemos construir esta escala? Tenemos que calcular el valor del intervalo $$x$$ que divide nuestra octava en 12 semitonos de igual longitud. Si a nuestra primera nota, el “Do”, le asignamos la posición $$1$$, la siguiente nota (el “Do#”) estará en la posición $$x$$, la segunda en $$x^2$$, y así sucesivamente hasta el “DO” de la octava superior, que estará en la posición $$x^{12}$$. Como sabemos que la relación entre octavas es de 2/1, se debe cumplir por tanto que:

$$!x^{12} = 2$$

Y despejando $$x$$ en esta ecuación tenemos que:

$$!x = \sqrt[12]{2} = 2^{1/12}$$

Ya así, de esta forma tan sencilla hemos construido la escala temperada, a la que estamos acostumbrados, que gráficamente queda de la siguiente forma:

EscalaTemperada

Es decir, para pasar de una nota a la siguiente basta con multiplicar por $$2^{1/12}$$.

Si has llegado hasta aquí, te mereces un extra. ¿Sabes de dónde vienen los nombres de las notas? Tienen su origen en la edad media, cuando el italiano Guido de Arezzo utilizó la primera sílaba de un himno dedicado a San Juan para darles nombres a las notas:

Ut queant laxis
Resonare libris
Mira gestorum
Famuli tuorum
Solve polluti
Labii reatum
Sancte Joannes

La primera nota “Ut” no triunfó, ya que es difícil de pronunciar, y se acabó sustituyendo por “Do”.

¿Y el “Si”? Ese viene a partir de las iniciales de San Juan, que por aquel entonces se llamaba Sante Ioanes.

Imagen de cabecera: Enrique Alexandre
Ilustración de Pitágoras: Wikimedia Commons

Nota 1: Esta entrada ha sido portada en Divúlgame.
Nota 2: Esta entrada ha llegado al Olimpo en Divoblogger.
Nota 3: También estamos en meneame.

Tus oídos nos pueden enseñar matemáticas

El sonido son vibraciones que se propagan por el aire. Cuando estas vibraciones llegan a nuestras orejas, éstas se encargan de conducirlo hacia el interior del canal auditivo hasta llegar al tímpano. El sonido provoca entonces la vibración del tímpano (podemos imaginarlo como la membrana de un tambor), y este movimiento se traslada hasta el oído interno (la cóclea o caracol) gracias al movimiento de los huesecillos.

Anatomia_del_Oido_humano.svg
Anatomía del oído humano

La labor de los huesecillos es facilitar el paso del sonido desde el aire a un medio líquido (el interior de la cóclea). Esto, que técnicamente se denomina adaptación de impedancias, es necesario porque si no el sonido se atenuaría demasiado y no seríamos capaces de oír nada. Para hacernos una idea de la importancia de este mecanismo de adaptación podemos imaginar cuando estamos buceando y alguien nos habla desde fuera del agua. El sonido que nos llega de esa persona es muy débil debido a que la mayor parte de la energía, al encontrarse la onda sonora con la superficie del agua, rebota y vuelve al aire en lugar de propagarse a través del agua.

La vibración, por tanto, se va propagando de un huesecillo a otro, hasta llegar al último (el estribo), que está conectado a la cóclea a través de una pequeña membrana denominada ventana oval.

Es aquí, en el oído interno, donde tiene lugar la conversión de ondas sonoras a señales eléctricas, que serán posteriormente enviadas al cerebro a través del nervio auditivo. En la siguiente figura se puede ver la estructura interna (muy simplificada) de la cóclea si la desenrollamos. A grandes rasgos, se trata de un tubo lleno de un líquido dentro del que hay una membrana móvil (llamada membrana basilar) fija a uno de los extremos (el más cercano a donde golpean los huesecillos).

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Funcionamiento del oído interno

Cuando el estribo golpea en la ventana oval, se produce una perturbación en el líquido que la rellena. Esta perturbación, que podemos imaginar como una especie de ola, provoca que la membrana basilar se mueva. Este movimiento provoca la respuesta de unas pequeñas células ciliadas (algo así como unos pelillos) en forma de pulsos eléctricos, que son los que viajarán por el nervio auditivo. Por las características físicas de la cóclea, esa ola se propaga a lo largo de la membrana basilar, alcanza su máxima amplitud en un punto y a partir de ahí se atenúa muy rápido. Sería algo parecido a lo que se ve en esta figura:

Cochlea_wave_animated

La gracia del asunto reside en que el punto donde la oscilación alcanza su valor máximo depende de la frecuencia del sonido que llegue al oído. De hecho, los sonidos más graves (de frecuencias más bajas) alcanzan el máximo hacia el final de la membrana basilar mientras que los sonidos agudos (los de frecuencias altas) provocan que el máximo de la oscilación se quede muy cerca de la ventana oval.

Pensándolo desde un punto de vista matemático, lo que estamos describiendo no es más que un sistema de análisis frecuencial del sonido, que traduce las distintas frecuencias de un sonido a posiciones en la membrana basilar. Este proceso de análisis de un sonido para observar sus componentes de frecuencia es lo que hace la transformada de Fourier.

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Joseph Fourier

La transformada de Fourier es una herramienta matemática que nos permite analizar las frecuencias que se esconden detrás de cualquier sonido (en general, de cualquier señal, pero vamos a restringirnos al sonido para no liarnos). Como curiosidad, el nombre de la transformada es por el matemático francés Joseph Fourier, responsable también de dar por primera vez una explicación científica al efecto invernadero. Pues bien, para aplicar la transformada lo que se hace es tomar un trozo del sonido de una determinada longitud, y compararlo con una serie de frecuencias puras, para ver cuánto de cada frecuencia hay en el sonido.

Esta herramienta, no obstante, tiene una limitación, dada por el principio de incertidumbre (sí, sí, el de Heisenberg…). Esto lo que quiere decir es que si quiero ser capaz de analizar la frecuencia con mucha precisión, necesito para ello tomar un trozo grande del sonido original, con lo que se pierde precisión temporal. Por contra, si quiero analizar un trocito de muy corta duración del sonido, perderé resolución en frecuencia, y no tendré suficiente información como para poder observar las frecuencias con todo el detalle. Dicho de otro modo, que no se puede tener todo en la vida y por tanto debemos alcanzar un compromiso entre resolución temporal y frecuencial. En la práctica, ese compromiso dependerá de la aplicación con la que estemos trabajando, que nos marcará si necesitamos más resolución en tiempo o en frecuencia.

Lo que acaban de observar unos investigadores de la Universidad de Rockefeller es que el oído humano es capaz de procesar los sonidos más allá del límite teórico marcado por el principio de incertidumbre. De hecho somos capaces de obtener unos niveles de precisión 10 veces mejores que los marcados por el principio de incertidumbre. Del estudio, publicado en la revista Physical Review Letters, se deduce que o bien la precisión de la percepción tiempo-frecuencia humana está por encima a la máxima teórica marcada por el principio de incertidumbre, o dicho límite no es aplicable para el sistema auditivo humano.

Además, los resultados obtenidos por los investigadores muestran que la precisión medida para la percepción tiempo-frecuencia varía en función de si el sonido se reproduce en un sentido o en el contrario. Los autores explican este fenómeno considerando que el sistema auditivo humano está adaptado a los sonidos naturales, consistentes en un ataque brusco seguido de un decaimiento más o menos suave. Por tanto, nuestro sistema auditivo no sólo es altamente no lineal, sino que esta no linealidad es la que nos permite mejorar la percepción de sonidos que sigan los principios físicos de la producción de sonidos.

El trabajo deja en evidencia lo limitado de muchos de los modelos de análisis tiempo-frecuencia utilizados para modelar la audición humana. Podríamos además preguntarnos qué pasaría si encontrásemos un modo de superar las limitaciones que nos impone el principio de incertidumbre. Si esto fuese posible, podríamos mejorar las prestaciones de tecnologías como los codificadores de audio (como el mp3), los sistemas de reconocimiento de voz, etc.

Imagen de cabecera: Enrique Alexandre
Resto de imágenes: Wikimedia Commons

Los MOOC, ¿el futuro de la educación?

8028605773_857fcd5548Si hay un tema del que se habla a todas horas en los últimos tiempos en el mundo universitario son los cursos online abiertos como los puestos de moda por Coursera, Udacity, Khan Academy o edX. Estoy hablando de los MOOC, acrónimo de Massive Open Online Courses. Muchas universidades han visto en este tipo de cursos una gran oportunidad para ganar estudiantes y promocionarse de cara al exterior. La Universidad en la que trabajo, y me consta que no es la única, ya está trabajando para ofrecer una colección de cursos en la plataforma Miriada X (una plataforma formada por universidades iberoamericanas). Pero… ¿es oro todo lo que reluce?

Personalmente todo lo que está sucediendo me recuerda en parte a lo que le pasó a la industria musical cuando empezaron a surgir las descargas por internet. Montar todo un modelo de negocio y una infraestructura sólida que permita un cambio de paradigma como el que el mercado demandaba no se hace de la noche a la mañana, y así unas pocas supieron interpretar bien la situación y adaptarse, pero muchas se quedaron atrás, temerosas de perder su hasta entonces privilegiada posición, otras se intentaron lanzar a su cuenta y riesgo (con más riesgo que cuenta), otras se agarraron al primer tren que pasaba sin saber a dónde iba, porque “había que estar”, etc. Con los MOOCs sucede algo parecido. Montar un curso online de estas características no se puede improvisar, ni lo puede hacer cualquiera. Requiere una cantidad de esfuerzo descomunal: planificar del curso, preparar los contenidos, grabar los vídeos, producir todo el material multimedia, etc.

Algunas universidades participantes en la plataforma Coursera han cuantificado el coste que les supone ofrecer un curso en unos 50.000 dólares, la mayor parte de los cuales se invierten en pagar la grabación y producción de los vídeos, y en pagar a profesores ayudantes que moderan los foros de discusión. ¿Estamos dispuestos a invertir en este modelo sin tener totalmente claras las posibles formas de recuperar la inversión? Aquí sobrevuela, como de costumbre en estos casos, el fantasma del “coste cero”. Hay que montar cursos, pero sin que suponga coste añadido para la Universidad. ¿Y mis clases presenciales? No, esas se mantienen como siempre. ¿Y la investigación? Eso por supuesto no cambia. ¿Se me va a tener en cuenta en mi curriculum? Bueno, hay que pensarlo, ya veremos cómo. Vamos, la misma historia de siempre. Si lo que pretendemos es reciclar nuestras viejas asignaturas y ponerles una etiqueta que diga MOOC porque está de moda, adelante, pero nos podemos preparar para la bofetada, porque va a ser de impresión.

Si queremos hacer la prueba, basta con inscribirse en media docena de estos cursos, y podremos darnos cuenta de que unos pocos son excepcionales, otros no tanto, aunque buenos, y otros no son más que colecciones de transparencias con un foro detrás y algún que otro vídeo sacado de YouTube. Si queremos entrar a competir en este mercado debemos ofrecer un producto lo suficientemente atractivo y competitivo. Con un número cada vez mayor de cursos ofertados, la gran amenaza es no ser capaces de destacar y atraer a un número suficiente de estudiantes.

Si pensamos ahora en las fortalezas de estos cursos, está claro que ofrecen a cualquier persona del mundo, esté donde esté, la posibilidad de asistir a cursos impartidos por profesores de las universidades más prestigiosas del mundo. Y además de forma gratuita. Yo mismo he seguido varios de estos cursos (algunos muy por encima, todo hay que decirlo), relacionados bien con mi actividad investigadora, o con las materias de las que imparto clase, para ver otras formas de enfocar los mismos contenidos, metodologías distintas, etc., o incluso por puro hobby. Y reconozco que algunos me han servido para mucho. Hace unos días, un columnista del New York Times decía, hablando de estos cursos, que “nada tiene mayor potencial para sacar a la gente de la pobreza – aportándoles una educación asequible para poder conseguir un trabajo o mejorar en el que tengan“. Está claro, pues, que su aparición ha supuesto un antes y un después en el mundo de la educación, y que, como poco, han servido de toque de atención a muchas Universidades, que han visto cómo su modelo de trabajo tradicional se puede ver amenazado por esta nueva forma de enseñar.

Si he hablado de las amenazas que se ciernen sobre estos cursos y de sus fortalezas también es necesario hablar de sus debilidades. Estamos hablando además de cursos donde la palabra “masivo” no esta ahí de casualidad. Los MOOC están diseñados para funcionar bien si el número de estudiantes es de miles; si no, el curso sencillamente no funciona. Y tener miles de estudiantes implica que la infraestructura y planificación necesarias para manejarlo todo es de vital importancia. Un ejemplo es el reciente fiasco del curso sobre creación de cursos online ofertado por Coursera, que se tuvo que suspender por las quejas de los estudiantes. Sus profesores plantearon utilizar hojas excel de Google Docs para crear los grupos, y la cantidad de alumnos (creo recordar que eran del orden de 40.000) sobrepasó la capacidad de Google Docs (que no permite que más de 50 personas editen un mismo documento) creando un caos absoluto.

Por otra parte, debemos tener en cuenta que este tipo de cursos asumen que los estudiantes que se inscriben tienen suficiente interés por aprender y unas buenas aptitudes para el aprendizaje autónomo. Todas las interacciones se realizan entre iguales, en foros donde las preguntas las responden los propios alumnos, y el profesor interviene sólo en contadas ocasiones, cuando es imprescindible. Para muchos estudiantes, que saben perfectamente lo que quieren y cómo lo quieren, estos cursos son una excelente opción. El problema es que para otros muchos, el modelo de los MOOC carece de un componente esencial en la enseñanza: la relación profesor-alumno. El profesor como mentor, o como guía del aprendizaje no tiene cabida aquí. Podemos echar un vistazo a los porcentajes de éxito de estos cursos (en torno al 10%) para darnos cuenta de hasta qué punto no son capaces de enganchar a todos los alumnos.

¿Y las oportunidades? Claramente la principal es el dinero. Sí, la mayor parte de los cursos son gratuitos, pero se trabaja mucho para ver la forma de obtener ingresos a partir de ellos. Una posibilidad que empiezan a aplicar algunas Universidades es ofrecer los cursos de forma gratuita a cambio de créditos. Si completas el curso y después te matriculas en la Universidad, se te reconoce un determinado número de créditos correspondientes a la materia del curso. Es algo así como una prueba gratuita del producto, y si te gusta, entonces te matriculas y pagas.

Otra oportunidad de negocio es la publicidad. Para cualquier empresa, el tener acceso a un grupo de miles de personas con un interés declarado en un tema concreto es una clarísima ocasión para intentar promocionar su producto.

El tiempo nos dirá cómo afectan los MOOC al modelo tradicional de Universidad, y si ambos sistemas son capaces de convivir y complementarse. Si no conocías los MOOC o nunca has probado a inscribirte en uno, te animo a que lo hagas y si quieres, a que compartas tus impresiones en los comentarios.

Imagen de cabecera: Enrique Alexandre
Poster MOOC: Flickr

Feliz cumpleaños Julio Verne

343px-Félix_Nadar_1820-1910_portraits_Jules_VerneHoy se cumplen 185 años del nacimiento de Julio Verne, uno de los padres de la Ciencia Ficción (aunque él siempre se consideró escritor de literatura científica). En sus más de 50 novelas publicadas se adelantó a su tiempo, describiendo cosas impensables como un submarino propulsado por energía eléctrica cuando los submarinos no eran más que prototipos y la electricidad algo que se conocía pero cuyo uso no estaba generalizado; los telediarios, unos diarios que en lugar de estar impresos eran hablados; las videoconferencias, con su fonoteléfono, que transmitía imágenes mediante espejos sensibles conectados con cables; llevó al hombre a la luna un siglo antes de que sucediese en lar realidad, e incluso una red mundial de comunicaciones que recuerda al Internet de hoy en día.

Aunque este año no ha habido un doodle especial, sí que lo hubo hace dos, y todavía se puede jugar con él, incluso en una versión en HD.

Si tienes un rato, no es un mal momento para ver este capítulo de la serie “Profetas de la Ciencia Ficción” dedicado a Julio Verne, y por qué no, para releer alguno de sus libros.

Los sonidos de los modems

Si alguna vez te conectaste a internet utilizando los clásicos modem telefónicos de los 90s, seguro que este ruido te suena:

Lo que estás escuchando es la conversación entre dos modem, que se intentan poner de acuerdo en cómo comunicarse entre sí y verificar la calidad del canal por el que se están comunicando.

Si echamos un vistazo al espectrograma de la señal de audio anterior podemos ver con todo detalle lo que está ocurriendo:

dialup-final
Imagen: Oona Räisänen

Lo primero que se oye es la marcación del número de teléfono al que queremos llamar, utilizando el sistema de marcado por tonos que utiliza cualquier teléfono hoy en día.

El modem al que llamamos contesta con un tono característico, y entonces ambos modem empiezan a dialogar para acordar qué protocolo van a utilizar para comunicarse. A este procedimiento se le denomina V.8 bis.

A continuación deben intentar resolver el problema de la cancelación de eco. La línea telefónica está diseñada para evitar que cuando hablamos oigamos el eco de nuestra voz al colarse de nuevo desde el altavoz al micrófono de nuestro interlocutor. Para eso lo que hace es silenciar el canal de retorno mientras hablamos, ya que lo normal es que sólo uno de los dos hable a la vez.

Los modem no funcionan así (a eso se le llama full-duplex), y lo que hacen es emitir un tono que le indica a la red telefónica que desactive los sistemas de cancelación de eco.

A continuación los modem intercambian los sistemas de modulación que soportan y acuerdan uno que ambos sean capaces de utilizar. Además, emiten unos cuantos tonos de prueba para verificar la línea y comprobar cómo se comporta a distintas frecuencias y cuánto atenúa la señal en cada caso. Tras intercambiarse los resultados obtenidos deciden la velocidad a la que van a transmitir.

A partir de este momento los dos modem transmiten un bloque de información codificada de forma que se distribuya de forma más o menos uniforme en frecuencia. Cada uno de ellos escucha lo que le llega del otro y así ajustan sus ecualizadores para adaptarse al canal.

A partir de este momento el proceso de conexión ha finalizado y ya se puede empezar a transmitir datos a través de la línea.

Vía Absorptions

La falacia del jugador

Imaginemos que tiramos una moneda al aire y sale cara. No es nada extraño, ya que teóricamente la probabilidad de que suceda eso es $$\frac{1}{2}$$ (suponiendo que no hayamos leído este estudio).

Repetimos la jugada otras cuatro veces más, y en todas ellas el resultado es cara. Esto ya parece más extraño, ya que la probabilidad de que al tirar una moneda cinco veces seguidas siempre salga cara es:

$$!\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2^5} = 0.03125$$

En este momento te pido que apuestes qué va a salir en la siguiente tirada. El razonamiento que hace la mayor parte de la gente en este punto es:

La probabilidad de que salgan 6 caras seguidas, utilizando el mismo razonamiento que antes, es $$\frac{1}{2^6} = 0.015625$$. Esta es una probabilidad muy pequeña, por lo que lo más probable será que la próxima vez que tiremos la moneda salga cruz, así que eso es lo que apostaré.

Si has pensado esto has caído en la trampa. ¿No lo ves? Vamos a pensar sobre ello. Cada vez que tiramos la moneda al aire, el resultado que obtenemos es independiente de lo que sea que haya ocurrido en los lanzamientos anteriores. Por tanto, cada vez que tiremos la moneda al aire la probabilidad de que salga cara o cruz es siempre la misma: $$\frac{1}{2}$$, independientemente de lo que haya sucedido antes. Dicho de otra manera: Los resultados pasados no tienen ninguna influencia en el futuro.

¿Todavía no lo ves claro? Bien, pues pensemos… ¿Cuál sería la probabilidad de que al tirar la moneda seis veces seguidas salgan 6 caras? Lo hemos visto antes, sería $$\frac{1}{2^6} = 0.015625$$. Bien, y ¿la probabilidad de que al tirar la moneda seis veces seguidas salgan cinco caras seguidas de una cruz? El resultado es el mismo de antes: $$\frac{1}{2^5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2^6}$$.

Como curiosidad, la falacia del jugador también se conoce como falacia Monte Carlo, ya que en 1913, en un casino de esta ciudad la bola de la ruleta cayó 26 veces seguidas en el 26 negro. La gente que estaba apostando en la mesa perdió millones apostando contra el negro pensando erróneamente que si había habido una racha larga en un sentido se tendría que compensar con otra en el sentido contrario.

La raíz de todo este problema es el pensar que sucesos anteriores pueden influir en sucesos futuros, y que por tanto una racha de resultados en un sentido se tiene que compensar inmediatamente por medio de otra racha en el sentido contrario. Hay una anécdota que dice que un profesor una vez pidió a sus alumnos que, como tarea para realizar en casa, tirasen una moneda 100 veces al aire y anotasen el resultado. Al día siguiente, cuando los estudiantes le entregaron sus resultados, el profesor fue capaz de distinguir perfectamente quiénes habían realizado la tarea realmente y quiénes se habían inventado los resultados para acabar antes. No sé si la anécdota es cierta, pero sí podría serlo, ya que existen aplicaciones como la de este enlace que permiten detectar automáticamente este tipo de hechos.

El mismo razonamiento que hemos utilizado para las monedas se puede aplicar, por ejemplo, a la creencia que muchas veces se tiene de que si juegas al mismo número de la lotería todos los años es más probable que te toque. En realidad la probabilidad de que salga cualquier número es la misma en cada sorteo, así que no hay diferencia entre jugar el mismo número todos los años o cambiarlo.

Como extra, y por el mismo precio, os dejo este vídeo en el que se explica el problema de forma muy clara:

Cómo se hizo ‘Recovering my Religion’

En una entrada anterior, en la que hablábamos sobre los acordes menores y mayores y las diferentes sensaciones que son capaces de producir, ponía como ejemplo esta versión de la canción “Losing my Religion” de “R.E.M.” modificada de modo que todos los acordes menores pasen a ser mayores:

El vídeo llamó mucho la atención, y al parecer no fui yo el único que se preguntó cómo habrían conseguido modificar el audio de esa forma, ya que el resultado tenía una calidad sorprendentemente buena.

Ahora me encuentro con esta entrada en evolver.fm que parece que arroja algo de luz sobre el asunto. En ella se comenta que, dado que los autores del vídeo no han querido desvelar cómo lo hicieron, han intentado replicar el efecto. Para ello han utilizado el programa Celemony Melodyne, un avanzado editor de audio que permite retocar de forma individual las notas de un acorde en un fichero de audio y así cambiarlo completamente.

La potencia de la herramienta es tal que, teóricamente, podríamos tocar una canción con la guitarra simplemente tocando todas las cuerdas al aire y después modificando las notas para crear los acordes deseados.

En estos dos vídeos su creador, Peter Neubäcker, explica con claridad cómo funciona el sistema:

Volviendo al “Losing my Religion”, la canción tiene el siguiente aspecto al cargarla en el programa:

Imagen de evolver.fm

Para modificar la canción, originalmente en La menor, a La mayor, no es necesario ni siquiera ir nota a nota retocando la canción. Basta con seleccionar en el programa el cambio de escala, y él se encarga automáticamente de todo.

Aunque a simple vista pueda parecer algo trivial, ser capaz de detectar y extraer automáticamente los acordes individuales de un fichero de audio polifónico (con más de un instrumento tocando al mismo tiempo) no es ni mucho menos fácil y ha sido objeto de investigación durante muchos años (y todavía lo sigue siendo). Si te interesa aprender y jugar con este tipo de técnicas, puedes probar con este proyecto de analizador armónico de código abierto, que puede ser un excelente punto de partida.

Básicamente, este tipo de sistemas lo que hacen es intentar adivinar, para cada instante de tiempo, cuántas notas se están tocando, qué notas son, los instrumentos que las tocan, sus amplitudes y su duración. Hay que tener en cuenta que cuando un instrumento musical toca una nota no reproduce una sola frecuencia, sino todo un conjunto de armónicos, que son los que al fin y al cabo le confieren al sonido el timbre característico de ese instrumento. Es decir, es necesario agrupar los armónicos en notas, las notas en acordes y los acordes asignarlos a instrumentos. A la vez es necesario verificar que las decisiones que se han tomado tienen sentido (por ejemplo, si un acorde se asigna a una guitarra, que se sea consecuente en acordes posteriores con esa decisión).

No he podido probar el programa en cuestión, así que no sé exactamente dónde están sus limitaciones y si es tan bueno como parecen indicar las críticas, pero en cualquier caso, y a la vista de los resultados, no cabe duda de que representa un enorme paso adelante en el mundo del procesado de señales musicales.

Como último apunte, otra alternativa el software es Capo, un programa cuyo objetivo es ayudarte a tocar una canción reproduciéndola más despacio y detectando los acordes de forma automática. El programa tiene, por supuesto, limitaciones por lo complicado del proceso como acabamos de decir, pero en muchos casos hace un trabajo más que aceptable.

Ventana principal del programa CAPO

La piratería cuando no había ordenadores

Nadie dijo que fuese fácil 😉

Primero se construye un marco de madera, bien sellado para que no se escape nada, y ponemos dentro el disco con la cara que queremos copiar hacia arriba.

Se vierte una mezcla de silicona sobre el disco. Tiene que tener unos 5mm de grosor y se debe dejar reposar toda la noche.

Retiramos el molde de silicona.

Echamos el vinilo sobre el molde de silicona.

Lo retiramos con cuidado.

Se recorta, se le hace un agujero en el centro, y ya tenemos lista nuestra copia.

¿Y se oye bien? Pues la verdad es que no lo sé, no lo he probado, pero si alguien se anima que nos lo cuente.

Si quieres ver de verdad cómo se hacen los vinilos, este documental de 10 minutos te lo muestra:

Vía SynthGear