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La sala más silenciosa del mundo

Imaginemos que queremos medir con precisión el ruido que produce el motor de un nuevo modelo de coche, para verificar si cumple con la normativa de emisión de ruido. ¿Qué tendremos que hacer? No es tan simple como acercarnos con un micrófono y medir. Tenemos que garantizar que lo que estamos grabando es única y exclusivamente el ruido debido al motor, y no a ninguna otra cosa. Necesitaremos por tanto aislar el ruido producido por ese motor de cualquier otro ruido, para lo que se deberán cumplir dos condiciones:

1) Que en el lugar donde estamos grabando no exista ningún otro ruido, o lo que es lo mismo, que esté perfectamente aislado del exterior.

2) Que el propio recinto en el que estemos no afecte de ningún modo al sonido que estamos midiendo: que no haya ningún tipo de ecos o reverberación.

Las salas que cumplen con estas características se conocen como cámaras anecoicas, y suelen estar construidas con paredes dobles, aisladas estructuralmente del resto del edificio (para evitar que se nos cuele cualquier sonido o vibración del exterior), y todas sus paredes están forradas de una gruesa capa de material absorbente, generalmente en forma de cuña, como se ve en la imagen de cabecera, y que puede tener en torno a 1 metro de grosor. De esta manera se pretende que sean capaces de absorber prácticamente el 100% del sonido que les llega, de forma que éste no sea reflejado de vuelta (lo que conocemos como reverberación).

Actualmente el caso más extremo de una sala de este tipo pertenece a la empresa Microsoft, que en sus instalaciones de Redmond dispone de la que se considera como la sala más silenciosa del mundo, al menos según el libro Guinness de los récords.

Al parecer, según las medidas realizadas en la sala, el nivel del ruido de fondo en la sala es de sólo -20,6dBA. Y eso, de verdad, es realmente poco. Vamos a poner este número en contexto: el sonido más débil que teóricamente puede existir, conocido como ruido Browniano, y producido por el movimiento aleatorio de las moléculas en el aire, es de -23dB. El sonido más débil que los seres humanos somos capaces de percibir es de 0dB, y si seguimos subiendo, el sonido de una respiración suave serían unos 10dB, una conversación tranquila en torno a 60dB, y el sonido más fuerte conocido, la erupción del volcán Krakatoa, 170dB.

Aquí, un vídeo del momento en el que verificaron el nivel de ruido de fondo dentro de la sala:

La experiencia de entrar en una sala de estas características es tal que a la mayor parte de la gente le resulta muy incómodo permanecer mucho tiempo en ella. En esta línea hay estudios que demuestran que las personas expuestas a este tipo de salas durante 15 minutos y a oscuras, pueden llegar a experimentar sensaciones de psicosis, e incluso existen leyendas urbanas que afirman que nadie ha sido capaz de permanecer más de 45 minutos en una de estas salas. De desmentir esto último se han encargado muchas personas, como este periodista de The Guardian, o este otro, que incluso grabó un vídeo durante su estancia dentro de la sala, de más de una hora de duración:

¿Y para qué sirven las cámaras anecoicas? Bien, pues tienen múltiples aplicaciones. Muchas empresas utilizan este tipo de instalaciones para comprobar cómo de ruidosos son sus productos, e intentar evaluar por ejemplo lo ruidoso que es un aparato de aire acondicionado, o un lavavajillas. Otra aplicación muy típica es lo conocido como el estudio de la calidad sonora de un producto. Un caso muy típico es el ruido que hacen las puertas de los coches al cerrarse. Se ha comprobado que lo primero que un potencial comprador escucha de un coche, no es el ruido de su motor, sino el sonido de sus puertas al abrirse y al cerrarse, cuando lo ve en el concesionario. Muchas marcas de coches invierten mucho esfuerzo en conseguir que este ruido transmita sensación de robustez y calidad, como se demuestra en este vídeo de BMW:

En el caso particular de Microsoft, al parecer utilizan esta cámara anecoica principalmente para probar los micrófonos y altavoces de sus tablets Surface, así como su asistente virtual Cortana.

Quizás esta sala anecoica sería el sitio ideal para interpretar la pieza 4’33” de John Cage, una obra para piano (sic) cuya partitura lo único que dice es que el intérprete debe permanecer 4 minutos y 33 segundos en silencio, sin tocar el instrumento. Sin comentarios.

Imagen de cabecera: imgur

Heroínas del audio

Hoy, 11 de febrero, se conmemora el día de la mujer en Ciencia, y desde muchos blogs se está promoviendo la publicación de entradas explicando quién es tu científica favorita. Yo no voy a elegir una favorita, sino que voy a hablar de tres mujeres que han realizado trabajos de gran importancia en el mundo de la acústica y el audio.

Marie-Sophie Germain (1776-1831)

Sophie Germain
Marie-Sophie Germain

Sophie Germain era una matemática, física y filósofa francesa que, además de sus famosos trabajos sobre los números primos, también realizó estudios de vibración de placas metálicas para intentar desarrollar una teoría matemática de la vibración de superficies elásticas. Tras varios años de trabajo, consiguió el premio de la Academia de las Ciencias de París, siendo la primera mujer en recibir dicho galardón. Durante 7 años no pudo acudir a las sesiones de la Academia al estar prohibido el acceso a cualquier mujer excepto las parejas de los académicos. Finalmente, gracias a su amistad con Joseph Fourier, secretario de la Academia, consiguió invitaciones para acudir a las sesiones.

Durante toda su vida fue discriminada por ser mujer, y nunca pudo desarrollar una carrera como matemática, debiendo trabajar independientemente a lo largo de su vida.

Delia Derbyshire (1937-2001)

Delia Derbyshire
Delia Derbyshire

Pionera de la música electrónica, trabajó para el taller radiofónico de la BBC, en donde creó la famosa sintonía de la serie de la BBC Doctor Who junto con Ron Grainer. Se trata de una de las primeras sintonías para televisión compuestas exclusivamente mediante equipos electrónicos.

Grainer intentó conseguir que su nombre figurase como co-compositora, pero le fue imposible debido a las reglas de entonces de la BBC, que obligaban a esconder los nombres de sus trabajadores tras distintos pseudónimos. Esta sintonía fue el tema principal de la serie Doctor Who durante sus primeras 17 temporadas en antena.

Hoy en día DeliaDerbyshire es reconocida como una de las primeras precursoras de la música electrónica.

Hedy Lamarr (1914-2000)

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Hedy Lamarr

Nuestra tercera protagonista es muy poco convencional. Hedy Lamarr era una famosa actriz australiana, muy ligada a papeles de femme fatale. Lo verdaderamente interesante es que además también era una prolífica inventora.

En el campo que nos ocupa, inventó, junto con el compositor George Antheil, un sistema para evitar que los torpedos controlados por radio pudiesen ser desviados de su rumbo. El sistema, patentado en 1942, se basaba en cambiar continuamente las señales de radio enviadas al torpedo, dificultando así su posible interceptación. Para ello utilizaba un mecanismo muy parecido al de los rollos de pianola, y aunque por aquel entonces resultaba muy difícil tecnológicamente de implementar, hoy en día está detrás de las actuales técnicas de espectro ensanchado, utilizadas en sistemas como GPS, telefonía móvil, etc.

Fuentes:
https://en.wikipedia.org/wiki/Sophie_Germain
https://en.wikipedia.org/wiki/Delia_Derbyshire
https://en.wikipedia.org/wiki/Hedy_Lamarr

El día que π estuvo a punto de valer 3,2

¿Te imaginas que se apruebe una ley que fije el valor de una constante matemática? Parece algo descabellado pero por increíble que parezca, estuvo a punto de ocurrir. La constante “afectada” era nada más y nada menos que el número π, que estuvo a punto de valer, por ley, 3,2.

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Imagen: Wikimedia Commons

Para conocer la historia debemos trasladarnos al estado de Indiana en el siglo XIX. En esa época vivía allí un médico aficionado a las matemáticas llamado Edward J. Goodwin. Una de las obsesiones de Edward era resolver el viejo problema de la cuadratura del círculo. Este problema consiste en hallar, utilizando sólo regla y compás, un cuadrado que tenga exactamente el mismo área que un círculo. El problema con esto es que es imposible, salvo que eliminemos la restricción de “utilizando sólo regla y compás”.

Se da además la casualidad de que cuando Edward se estaba dedicando a intentar resolver este problema, el matemático Ferdinand von Lindemann ya había demostrado que el número π es un número que no es solución de ninguna ecuación polinómica de coeficientes racionales, lo que en matemáticas se conoce como número trascendente. Una de las consecuencias de que π sea un número trascendente es precisamente la imposibilidad de cuadrar un círculo.

Pero bueno, a lo que íbamos. Nuestro amigo Edward J. Goodwin se dedicaba en sus ratos libres a intentar resolver el problema de la cuadratura del círculo y, no dejándose amilanar por la demostración matemática de von Lindemann, que le condenaba al fracaso, siguió intentándolo hasta que finalmente creyó encontrar una solución. No sólo eso, sino que incluso convenció a la revista American Mathematical Monthly para que publicasen un artículo suyo con la demostración de la resolución del problema. Esta demostración no menciona directamente en ningún momento al número π, pero una de las consecuencias inmediatas era que el valor de dicha constante debería ser 3,2.

Hasta aquí mal, pero la historia no se quedó ahí. A la vista de su “existosa” demostración, Goodwin decidió no sólo publicarla, sino también patentarla, con la idea de cobrar un canon por el uso que otros (matemáticos, profesores, etc.) pudieran hacer de su idea. Pero como en el fondo también tenía su corazoncito, decidió permitir que en su estado natal, Indiana, pudiesen utilizarla gratis, y aquí es donde se organiza el lío completo. El trato que Goodwin ofrece al estado de Indiana es que pueden utilizar su demostración de la cuadratura del círculo gratis si y solo si aceptan adoptar esta “nueva verdad matemática” como ley estatal. Goodwin se las ingenió para convencer al representante Taylor I. Record para que presentase formalmente esta propuesta de ley, conocida formalmente como House Bill 246.

En esta propuesta, que es como poco delirante, se afirma textualmente que “la relación entre el diámetro y la longitud de la circunferencia es de cinco cuartos a cuatro“. La relación entre la longitud de la circunferencia (2·π·r) y su diámetro (2·r) es precisamente π, y como 4 entre 5/4 es igual a 3,2, entonces necesariamente π tiene que valer 3,2. Pero lo mejor es que no se queda ahí, sino que más adelante afirma haber encontrado también las soluciones a los problemas de la trisección del ángulo y de la duplicación del cubo, problemas que dice “han sido abandonados por los científicos por considerarlos misterios irresolubles que se escapan a la capacidad de comprensión humana“. Así, con un par.

Se ve que los legisladores de Indiana no tenían muchas nociones de matemáticas, ya que la propuesta de ley fue prosperando y se llegó a aprobar en la comisión de Educación con el voto unánime de los 67 representantes. Los legisladores no eran capaces de entender el absurdo razonamiento seguido por Goodwin en su demostración, y no eran conscientes de las implicaciones de la aprobación de la propuesta más allá de que su estado iba a poder utilizar gratuitamente una nueva teoría matemática, lo cual no podía ser malo. De hecho, en la sesión se afirmaron cosas como que “…el caso es muy sencillo. Si aprobamos este proyecto de ley que establece un nuevo y correcto valor de π, el autor ofrece a nuestro estado la posibilidad de utilizar su descubrimiento de forma gratuita, además de poder publicarlo en nuestros libros de texto, mientras que todos los demás deberán pagarle derechos“.

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A estas alturas la noticia de que en Indiana se estaba tramitando una ley que redefinía el valor del número π ya se había propagado a todo el país, y muchas revistas y periódicos se hacían eco de la noticia y no salían de su asombro por tan curiosa iniciativa legislativa.

Y aquí hace su aparición nuestro héroe del día. El mismo día en que la propuesta de ley se estaba aprobando en la comisión dio la casualidad de que por allí andaba un matemático llamado Clarence A. Waldo, a quien le llamó la atención que en la asamblea se estuviese discutiendo de matemáticas, así que se acercó a escuchar. Inmediatamente Waldo se dio cuenta de todas las incongruencias presentes en la teoría, y no se lo podía creer. Al parecer, tras el debate algunas personas le ofrecieron presentarle a Goodwin, pero Waldo dijo que ya había conocido a suficientes locos en su vida.

Sin dudarlo, Waldo se dedicó a convencer a los senadores de que aprobar esa propuesta era una idea realmente pésima. Cuando por fin se llegó a debatir en el senado, los senadores se dedicaron a ridiculizar el documento sin compasión durante media hora. Finalmente se pospuso indefinidamente la votación de la propuesta y hasta hoy el estado de Indiana no ha vuelto a intentar reescribir los principios básicos de las matemáticas.

Imagen de cabecera: Kate & Ian, Flickr

Cómo fotografiar gotas de agua

Las fotografías de gotas de agua siempre resultan espectaculares, y la verdad es que no son tan complicadas de realizar como parece. Ahora que se acercan las vacaciones de semana santa es un buen momento para tener un poco más de tiempo libre y aprovechar para realizar este tipo de proyectos.

El equipo que necesitamos es el siguiente:

  • La cámara de fotos. Claro, si vamos a hacer fotos, hace falta la cámara. No es necesario que sea una cámara super profesional, pero sí que permita seleccionar los ajustes manualmente, y si además tiene un modo de disparo en ráfaga, mejor que mejor.
  • Trípode, ya que es muy importante mantener la cámara fija siempre en la misma posición durante todo el tiempo que estemos haciendo fotos, como veremos más adelante.
  • Flash. Aquí lo ideal es tener un flash externo, y si además tienes la posibilidad de dispararlo de forma remota, mejor. También te puedes apañar con el de la cámara, aunque los resultados van a ser peores.
  • Un barreño de agua. Tiene que tener la suficiente profundidad para que las gotas produzcan el efecto que deseamos. Si utilizas un plato o muy poca agua lo único que conseguirás serán salpicaduras. Yo por ejemplo utilizo un bol grande.
  • Un grifo o una bolsa de plástico pequeña. Yo utilizo una de las típicas para congelador a la que le hago un agujero para que caigan las gotas.
  • Algo para poner de fondo en la fotografía: un folio, una cartulina o similar. El color depende del efecto que queramos conseguir.
  • Algún objeto que nos ayude a enfocar. Yo utilizo un lápiz, aunque vale cualquier otra cosa.
  • Lo más importante: tiempo y paciencia.

Lo primero es montar todo el equipo tal y como se indica en la figura. La cartulina se coloca por detrás del barreño de agua de forma que obtengamos un fondo uniforme y además nos sirva como reflector para la luz del flash. La luz del flash cuanto más indirecta sea, mejor. Lo ideal es disponer el flash tal y como se muestra en la figura, a un lado del barreño y apuntando hacia la cartulina.

Si no dispones de un flash remoto puedes utilizar un flash externo apuntado hacia un lado, para que la luz no sea demasiado directa, y poner una cartulina también en ese lateral, para que actúe como reflector. Todas las fotos que acompañan esta entrada están hechas utilizando este método. También puedes aprovechar la luz de una ventana o cualquier otra fuente de luz potente para iluminar las gotas.

Para crear las gotas de agua hay varias opciones. Si dispones de suficiente espacio, puedes utilizar directamente un grifo ajustado para que gotee de forma muy lenta (1 gota por segundo o menos). Otra opción es utilizar una bolsa de plástico llena de agua a la que le haremos un agujero para que caigan las gotas. Lo importante en cualquier caso es que las gotas caigan siempre sobre el mismo sitio para que no tengamos que andar cambiando el enfoque de la cámara.

Por último, coloca la cámara sobre el trípode apuntando a la cubeta y comprueba que todo funciona correctamente.

Vamos ahora a configurar la cámara. El enfoque automático no nos sirve en este caso, ya que el agua no tiene suficiente contraste como para que el sistema de la cámara funcione bien, por lo que debemos configurar la cámara en el modo de enfoque manual.

Para enfocar correctamente lo más cómodo es que utilices algún tipo de objeto (yo utilizo el lápiz) y lo coloques en la superficie del agua justo en el punto en el que caen las gotas (por esto es importante que siempre caigan en el mismo sitio y utilizar un trípode para que el punto de enfoque no cambie). Puedes utilizar la punta del lápiz para enfocar correctamente con la cámara y luego ya retirarlo.

En cuanto a la configuración del tiempo de exposición y la apertura, yo recomiendo trabajar en el modo manual, fijando un tiempo lo suficientemente pequeño como para que congelemos la gota de agua (a partir de 1/200 funciona bien) y una apertura que fijaremos en función de la exposición y de la profundidad de campo que queramos conseguir (f/16 puede ser un buen punto de partida).

Con todo esto ya ha llegado el momento de hacer fotos. Si dispones de un disparador remoto, utilízalo, ya que así tendrás más precisión. Empieza a dejar caer las gotas y pulsa el botón de disparo cuando creas que la gota va a caer. Al principio resulta complicado, pero poco a poco verás que te vas acostumbrando y vas acertando cada vez más. Si tu cámara dispone de un modo de disparo en ráfaga puedes aprovecharlo para tener más oportunidades de acertar.

A partir de este momento se trata de experimentar. Las formas de las gotas dependen mucho del instante preciso en el que las pilles pero también de la altura desde la que caen y de la profundidad y la forma del barreño de agua.

Puedes probar también con gotas de leche en lugar de agua, a cambiar la posición de la iluminación, a dejar caer dos gotas a la vez en distintos puntos, etc.

Por si resulta de utilidad, y para terminar de aclarar todas las dudas, puedes ver este vídeo, en el que se explica con detalle todo el proceso.

Cómo funciona una trompeta

Fantástico GIF en el que se puede ver el mecanismo de funcionamiento de los pistones de una trompeta. Cada pistón aumenta la longitud del tubo una determinada cantidad, haciendo por tanto que la nota sea más grave. El pistón central reduce la nota en un semitono, el de la derecha en dos y el de la izquierda en tres. Si se pulsan dos o tres pistones simultáneamente se suman sus efectos. Así, con los tres pistones se pueden conseguir 8 combinaciones distintas, y si además se modifica la posición de los labios y la fuerza con la que se sopla, el instrumento es capaz de cubrir un rango de dos octavas y media.

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Visto en Tumblr

Feliz día de π

Hoy, al menos según el formato de fecha de Estados Unidos, se celebra el día de Pi, ya que es Marzo 14 (3,14).

Para celebrarlo, te presento un método de cálculo del valor del número $$\pi$$ que se aleja de a lo que estamos acostumbrados. Tan sólo necesitas un papel con unas cuantas rayas dibujadas y un montón de agujas.

Vamos a hablar del problema de la aguja de Buffon. Se trata de un problema de estadística geométrica propuesto en el siglo XVIII por Georges-Louis Leclerc, conde de Buffon. Según este procedimiento, es posible obtener una buena estima del número $$\pi$$ dejando caer agujas sobre un papel donde habremos marcado unas cuantas rayas.

Sin meternos en demasiada estadística, la idea es que si la aguja se tira de forma que tanto su posición como su ángulo sean aleatorios, ambas variables pueden considerarse como independientes, y la probabilidad de que al caer cruce una de las líneas pintadas en el papel es (te ahorro la integral):

$$! P = \frac{2l}{t \pi}$$

donde $$l$$ es la longitud de la aguja y $$t$$ la distancia entre líneas (he supuesto que $$l < t$$, lo que se conoce como problema de la aguja corta).

En nuestro caso la distancia entre las rayas es exactamente el doble de la longitud de las agujas ($$2l = t$$), con lo que se puede calcular el valor de $$\pi$$ sencillamente como:

$$! \pi \approx \frac{n}{c}$$

siendo $$n$$ el número de agujas que hemos tirado y $$c$$ cuántas han caído cruzando una línea.

Aquí tienes un vídeo con una simulación con hasta 10.000 agujas:

En esta página puedes encontrar un applet de Java que te permite hacer tú mismo el experimento.

Imagen de cabecera: Flickr

Tecnología, accesibilidad y música

227417_122071821208568_1827577_nEsta semana se están celebrando en la Escuela Politécnica Superior de la Universidad de Alcalá las IX Jornadas de Convergencia Ciencia y Tecnología organizadas por la cátedra Vodafone-Universidad de Alcalá. Las Jornadas se centran en la difusión de actividades de I+D+i en materias de salud y accesibilidad.

El martes tuve el placer de ser el encargado de moderar la sesión, en la que se presentaron cuatro proyectos muy interesantes: un conversor de texto a lengua de signos, un sistema basado en la nube que facilita la accesibilidad de la web, una iniciativa para la ayuda a personas con parálisis cerebral, y un portal universitario para alumnos con síndrome de Asperger.

Las cuatro presentaciones fueron extraordinarias, y no puedo menos que felicitar y agradecer a todos los ponentes por venir a presentarnos su trabajo. Fueron capaces de interesar e incluso emocionar a todos los asistentes en más de una ocasión al mostrarnos verdaderos modelos de superación. También pudimos ver cómo actividades que muchos no valoramos en nuestro día a día suponen un verdadero desafío para muchas personas, y la forma en que la tecnología puede ayudar a superar estas dificultades.

En un descanso, hablando con los ponentes, comentábamos cómo hace años ninguno nos imaginábamos que la accesibilidad podría ser una salida laboral para un ingeniero o licenciado. Por ello, a todos nos parecía muy importante organizar este tipo de actividades, para mostrar a nuestros estudiantes el trabajo que se está haciendo en este ámbito y que pudiesen ver una posibilidad que quizás no tenían en sus mentes.

Cada vez es más común encontrarnos con nuevas empresas dedicadas al desarrollo y aplicación de tecnologías para la ayuda a la inclusión social y la accesibilidad de personas con cualquier tipo de discapacidad, física o sensorial. Basta con darse una vuelta, por ejemplo, por la App Store o por Google Play, y nos podremos encontrar con cientos de aplicaciones para tabletas y móviles en este sentido, demostrando que hay un buen número de desarrolladores trabajando en esta línea. Las presentaciones que estamos viendo a lo largo de la semana nos demuestran que, con imaginación, es viable trabajar ayudando a quienes más lo necesitan.

tumblr_inline_miw4k4uWFE1qz4rgpAl hilo de lo anterior, ayer me topé por casualidad con la página web de Mandy Matz. Si no la conoces (como reconozco que me sucedía a mí), Mandy es música y artista multimedia. Tiene 36 años. Y se está quedando ciega.

Desde su blog Mandy está lanzando un llamamiento para fomentar el desarrollo de interfaces que permitan la interpretación y composición musical a personas con pérdidas visuales. En los últimos años hemos ido viendo multitud de interfaces musicales a cual más extravagante, desde guantes musicales, hasta instrumentos invisibles para iPhone, pasando por controladores basados en kinects o webcams u orquestas dirigidas por el movimiento. Hay eventos periódicos, como el Music Hack Day en los que los desarrolladores se juntan y comparten sus ideas y presentan sus últimos productos. Todos estos productos nos sirven para explorar nuevas formas de interacción y de expresión musical, que luego pueden ser aplicadas a casos como el de Mandy.

Si te interesa el tema, Mandy acaba de crear un blog, Hack Blindness, donde escribe sobre cómo ayudar a desarrollar nuevas formas que puedan ayudar a personas con pérdidas visuales a interpretar y componer música. También puedes seguir en Twitter el hashtag #hackblindness.

Personalmente creo que nosotros, como ingenieros, disponemos de las herramientas necesarias para ayudar a gente como Mandy a alcanzar su objetivo. El suyo es un caso particular, pero como ella existen millones de personas con necesidades especiales a las que entre todos podemos contribuir a ayudar.

Imagen: Hack blindness
Imagen de cabecera: Flickr

Las series de Fourier, con escuadra y cartabón

Veo en Tumblr esta imagen, de un libro de 1929 en el que se explica cómo calcular las series de Fourier para una determinada curva de forma gráfica (haz click sobre la imagen para verla a tamaño completo):fourier_constructionLas series de Fourier son una herramienta matemática con muchísimas aplicaciones en campos tan diversos como la acústica, el procesado de imagen, la economía, etc.

Lo que dice Fourier, básicamente, es que podemos descomponer cualquier función periódica $$f(x)$$ como una suma de senos y cosenos, de la siguiente forma:

$$!f(x) \approx \frac{a_0}{2} + a_1 cos (\omega x) + a_2 cos (2 \omega x) + \cdots + a_n cos (n \omega x) + b_1 sen (\omega x) + b_2 sen (2 \omega x) + \cdots + b_n sen (n \omega x)$$

Donde los coeficientes $$a_k$$ y $$b_k$$ vienen dados por:

$$! a_k = \frac{2}{T} \int_0^T f(x) cos (k \omega x) dx$$

$$!b_k = \frac{2}{T} \int_0^T f(x) sen (k \omega x) dx$$

El gran problema aquí son las integrales. Una integral no deja de ser una suma, aunque con infinitos términos, que es lo que las hace algo más engorrosas. Una forma de resolver estas integrales es de forma analítica, utilizando el teorema fundamental del cálculo (el que dice que derivación e integración son operaciones inversas). Pero esta no es la única forma. Las integrales también se pueden resolver de forma aproximada utilizando métodos numéricos. Si pensamos que una integral de una función entre dos puntos ($$0$$ y $$T$$ en nuestro caso) no representa otra cosa más que el área encerrada bajo la curva entre esos dos puntos, lo único que tenemos que hacer para calcularla es inventarnos algún modo de estimar ese área de forma sencilla. Esto es lo que se hace en la vida real cuando se necesita calcular el valor de una integral que de otro modo no sería posible resolver (o sería demasiado complicado).

En lo que se basa el método del libro es en utilizar un método gráfico para realizar estas aproximaciones. Vale, quizás no se trata del método más exacto ni más rápido para calcular las series de Fourier, pero sí es curioso.

Otro procedimiento parecido consiste en utilizar la fórmula de los trapecios para aproximar ese área, tal y como se explica en este otro libro:

Fourier1

Fourier2Las páginas anteriores están extraídas del libro “Manual de matemáticas para ingenieros“, una joya que recomiendo a cualquier estudiante de ingeniería como obra de consulta.

Imagen de cabecera: Wikimedia Commons

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