Feliz día de π

Hoy, al menos según el formato de fecha de Estados Unidos, se celebra el día de Pi, ya que es Marzo 14 (3,14).

Para celebrarlo, te presento un método de cálculo del valor del número $$\pi$$ que se aleja de a lo que estamos acostumbrados. Tan sólo necesitas un papel con unas cuantas rayas dibujadas y un montón de agujas.

Vamos a hablar del problema de la aguja de Buffon. Se trata de un problema de estadística geométrica propuesto en el siglo XVIII por Georges-Louis Leclerc, conde de Buffon. Según este procedimiento, es posible obtener una buena estima del número $$\pi$$ dejando caer agujas sobre un papel donde habremos marcado unas cuantas rayas.

Sin meternos en demasiada estadística, la idea es que si la aguja se tira de forma que tanto su posición como su ángulo sean aleatorios, ambas variables pueden considerarse como independientes, y la probabilidad de que al caer cruce una de las líneas pintadas en el papel es (te ahorro la integral):

$$! P = \frac{2l}{t \pi}$$

donde $$l$$ es la longitud de la aguja y $$t$$ la distancia entre líneas (he supuesto que $$l < t$$, lo que se conoce como problema de la aguja corta).

En nuestro caso la distancia entre las rayas es exactamente el doble de la longitud de las agujas ($$2l = t$$), con lo que se puede calcular el valor de $$\pi$$ sencillamente como:

$$! \pi \approx \frac{n}{c}$$

siendo $$n$$ el número de agujas que hemos tirado y $$c$$ cuántas han caído cruzando una línea.

Aquí tienes un vídeo con una simulación con hasta 10.000 agujas:

En esta página puedes encontrar un applet de Java que te permite hacer tú mismo el experimento.

Imagen de cabecera: Flickr

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