Las series de Fourier, con escuadra y cartabón

Veo en Tumblr esta imagen, de un libro de 1929 en el que se explica cómo calcular las series de Fourier para una determinada curva de forma gráfica (haz click sobre la imagen para verla a tamaño completo):fourier_constructionLas series de Fourier son una herramienta matemática con muchísimas aplicaciones en campos tan diversos como la acústica, el procesado de imagen, la economía, etc.

Lo que dice Fourier, básicamente, es que podemos descomponer cualquier función periódica $$f(x)$$ como una suma de senos y cosenos, de la siguiente forma:

$$!f(x) \approx \frac{a_0}{2} + a_1 cos (\omega x) + a_2 cos (2 \omega x) + \cdots + a_n cos (n \omega x) + b_1 sen (\omega x) + b_2 sen (2 \omega x) + \cdots + b_n sen (n \omega x)$$

Donde los coeficientes $$a_k$$ y $$b_k$$ vienen dados por:

$$! a_k = \frac{2}{T} \int_0^T f(x) cos (k \omega x) dx$$

$$!b_k = \frac{2}{T} \int_0^T f(x) sen (k \omega x) dx$$

El gran problema aquí son las integrales. Una integral no deja de ser una suma, aunque con infinitos términos, que es lo que las hace algo más engorrosas. Una forma de resolver estas integrales es de forma analítica, utilizando el teorema fundamental del cálculo (el que dice que derivación e integración son operaciones inversas). Pero esta no es la única forma. Las integrales también se pueden resolver de forma aproximada utilizando métodos numéricos. Si pensamos que una integral de una función entre dos puntos ($$0$$ y $$T$$ en nuestro caso) no representa otra cosa más que el área encerrada bajo la curva entre esos dos puntos, lo único que tenemos que hacer para calcularla es inventarnos algún modo de estimar ese área de forma sencilla. Esto es lo que se hace en la vida real cuando se necesita calcular el valor de una integral que de otro modo no sería posible resolver (o sería demasiado complicado).

En lo que se basa el método del libro es en utilizar un método gráfico para realizar estas aproximaciones. Vale, quizás no se trata del método más exacto ni más rápido para calcular las series de Fourier, pero sí es curioso.

Otro procedimiento parecido consiste en utilizar la fórmula de los trapecios para aproximar ese área, tal y como se explica en este otro libro:

Fourier1

Fourier2Las páginas anteriores están extraídas del libro “Manual de matemáticas para ingenieros“, una joya que recomiendo a cualquier estudiante de ingeniería como obra de consulta.

Imagen de cabecera: Wikimedia Commons

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