Pitágoras, las matemáticas y la música

Pitágoras

Te propongo un experimento. Toma una cuerda de 1 metro de longitud, ténsala y hazla vibrar. Verás que reproduce una nota musical, que será función, entre otras cosas, de su longitud. Así, cuanto más larga sea la cuerda, más grave será la nota. Nosotros llamaremos “Do” a la nota que hemos reproducido con nuestra cuerda de un metro.

Ahora coge otra cuerda, y prueba a tocarla a la vez que la primera, pero variando su longitud. Si lo haces, te darás cuenta de que hay veces en que las notas producidas por las dos cuerdas suenan mejor y otras suenan peor.

Estos son, por ejemplo, algunos casos en los que las dos notas suenan bien simultáneamente (lo que en música se llama “consonancia”):

Y estos son algunos ejemplos de notas que no suenan bien juntas, produciendo tensión (“disonancia”):

Si repites el experimento unas cuantas veces, con distintas longitudes de la cuerda, es posible que llegues a la conclusión de que si la relación entre las longitudes de las dos cuerdas viene dada por una fracción simple, con números enteros en numerador y denominador, las notas que producen ambas suenan bien juntas. Así, el mejor caso es cuando una cuerda tiene el doble de longitud que la otra (relación 2/1), y otros casos favorables son cuando la relación de longitudes es 4/3 ó 3/2.

Viajemos a esa época y pongámonos en la piel de los pitagóricos, quienes realizaron el mismo experimento que nosotros acabamos de hacer, llegando a nuestras mismas conclusiones. Además, para los pitagóricos los números naturales, y especialmente los cuatro primeros (que ellos llamaban tetrakis), tenían un significado muy especial. Te puedes imaginar cuánto les llamó la atención el resultado del experimento: las tres relaciones de longitud a las que llegamos incluyen esos cuatro números, y ninguno más. A estos tres intervalos (2/1, 4/3 y 3/2) les llamaron diapasón, diatesarón y diapente respectivamente, aunque hoy en día los conocemos como octava, cuarta y quintay suenan así:

Octava – (Relación 2/1)

Cuarta – (Relación 4/3)

Quinta – (Relación 3/2)

Volvamos a nuestras cuerdas, y vamos a pintar lo que teníamos hasta ahora. A las dos notas intermedias que nos han salido, en las distancias 4/3 y 3/2 les vamos a llamar “Fa” y “Sol” respectivamente. Además, para no liarnos, he llamado “Do” a la nota que emite la cuerda de 1 metro, y “DO” (con las dos mayúsculas) a aquella emitida por la cuerda con una longitud doble (2m).

EscalaPitagorica_1

Ya que estamos con los pitagóricos, conviene que sepas que además tenían una verdadera obsesión con las medias. No, no es que fuesen fetichistas (que no lo sé). Estoy hablando de otro tipo de medias, en concreto de las medias aritmética, geométrica y armónica.

La media aritmética se define como:

$$!\bar{x} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_N}{N}$$

En nuestro caso, si calculamos la media aritmética de las dos longitudes que nos marcan la octava (1m y 2m) tenemos que:

$$!\bar{x} = \frac{1+2}{2} = \frac{3}{2}$$

Que coincide con el valor de la quinta, esa nota que habíamos llamado “Sol”. Esto tiene que ser una señal de que estamos haciendo las cosas bien.

Por su parte, la media armónica se calcula como el inverso de la media aritmética de los inversos de los números, o lo que es lo mismo:

$$! H = \frac{N}{\sum_{i=1}^{N} \frac{1}{x_i}} = \frac{N}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_N}}$$

Igual que antes, si calculamos la media armónica de los dos intervalos de la octava tenemos:

$$!H = \frac{2}{\frac{1}{1} + \frac{1}{2}} = \frac{4}{3}$$

¡Exactamente el valor de lo que llamamos cuarta (nuestro “Fa”)!

Bueno, ya han salido las dos notas que habíamos deducido de otra forma. ¿Qué nos deparará la media geométrica?. Esta se calcula como la raíz enésima del producto de los números:

$$!\bar{x} = \sqrt[N]{\prod_{i=1}^{N} x_i} = \sqrt[N]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n}$$

Y aplicada a nuestro caso:

$$!\bar{x} = \sqrt{1 \cdot 2} = \sqrt{2}$$

Y aquí es donde viene el problema, porque $$\sqrt{2}$$ es un número irracional, es decir, un número que no podemos representar como una fracción de enteros. A los pitagóricos estos números, que ellos llamaban incomensurables, no les hacían nada de gracia, y por tanto decidieron descartar este resultado e intentar ir por otro camino.

¿Qué otro método podemos utilizar para terminar de construir nuestra escala musical? Si recordamos, la nota que hemos llamado “Sol” es la quinta de “Do”. Podemos intentar calcular la quinta de “Sol”, y luego la quinta de esta quinta, y así sucesivamente. Como hemos visto, para calcular la quinta de una nota basta con multiplicar por $$\frac{3}{2}$$ la longitud de la cuerda, así que ¡manos a la obra!.

¿Cuál será la quinta de “Sol”? Según lo que acabamos de decir, la longitud deberá ser la de “Sol” multiplicada por $$\frac{3}{2}$$, es decir:

$$!\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{4}$$

El problema es que nos hemos salido de nuestra octava, ya que $$\frac{9}{4}$$ es mayor que 2. Bueno, no pasa nada, lo que podemos hacer es dividir el resultado por dos y solucionado, ya que sabemos que lo que obtendremos es la misma nota pero en una octava inferior.

Así que ya tenemos una nota nueva, que vamos a llamar “Re”, y nuestra escala por tanto nos quedaría así:

EscalaPitagorica_2b

¿Y por qué no seguimos? No hay ninguna razón para no hacerlo. Si queremos calcular la quinta del Re, no tenemos más que multiplicar por $$\frac{3}{2}$$ el valor de la quinta del Do:

$$!\frac{9}{4} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3^3}{2^3} = \frac{27}{8}$$

Igual que antes, como el resultado es mayor que 2, lo dividimos entre 2 hasta que entre en nuestra octava, así tenemos $$\frac{27}{16}$$, y a esta nota le llamaremos “La”.

EscalaPitagorica_3

Ya va quedando menos. Si volvemos a multiplicar por $$\frac{3}{2}$$ y dividimos por 2 hasta que el valor esté entre 1 y 2 obtenemos $$\frac{3^4}{2^6}$$ (me paso ahora a la notación en exponentes para no manejar números tan grandes). Esta nota será el “Mi”.

EscalaPitagorica_4

Por último, volvemos a multiplicar por $$\frac{3}{2}$$ y obtenemos una nota más que, lo adivinaste, llamaremos Si.

EscalaPitagorica_5

Ahora estarás pensando… ya, claro, has hecho trampas. Te has parado después de calcular el “Si” porque sabes que es la última nota. ¿Por qué no sigues calculando quintas?

Si quieres, adelante, vamos a seguir calculando las quintas. Eso sí, permíteme que le ponga nombre a las notas que vayan saliendo, seguro que lo entiendes. A partir del “Si” me han ido saliendo, en este orden, el “Fa#”, “Do#”, “Sol#”, “Re#” y finalmente “La#”.

EscalaPitagorica_6

Y nos volvemos a parar aquí. La última quinta que he calculado ha sido la de valor $$\frac{3^{10}}{2^{10}}$$ (que dividida por dos hasta que entre en nuestra octava se queda en $$\frac{3^{10}}{2^{15}}$$). ¿Por qué no sigo? Bueno, ahora sí que tengo una explicación. Si calculo la siguiente quinta, obtendremos que vale $$\frac{3^{11}}{2^{17}}$$, que es un valor muy parecido a $$\frac{4}{3}$$ (1,35 frente a 1,33), por lo que no parece descabellado considerar que son la misma nota.

Si sigo, y calculo otra quinta más, tendré $$\frac{3^{12}}{2^{12}}$$, y si hacemos la cuenta, esto da algo muy parecido a 2 (exactamente 2,02). Con esto, podemos considerar que ya hemos cerrado el círculo, y por tanto ahora sí que tenemos un buen motivo para parar aquí.

El mayor problema de la escala que hemos construido (que por si no lo habías adivinado, se conoce como escala pitagórica) es este “parecido” que acabo de decir. Dicho de otro modo, que las doce quintas no suman exactamente una octava, sino un poquito más. A la diferencia entre lo que miden doce quintas y lo que mide una octava es a lo que se le llamó coma pitagórica.

La principal consecuencia de la coma pitagórica es que si queremos trasladar una melodía de una tonalidad a otra (por ejemplo, de “Do” a “Do#”) necesitamos cambiar la afinación de los instrumentos, y eso no es demasiado práctico, la verdad.

No fue hasta el siglo XVI ó XVII cuando se desarrolló la escala que hoy utilizamos normalmente: la escala temperada. Esta escala se construye dividiendo la octava en 12 partes iguales (12 semitonos). Así, logramos que desaparezca la coma pitagórica aunque a cambio pagamos el precio de perder las proporciones justas de quinta y cuarta (esos $$3/2$$ y $$4/3$$ que tanto gustaban a los pitagóricos). Dicho de otro modo, sacrificamos consonancia por simetría.

¿Cómo podemos construir esta escala? Tenemos que calcular el valor del intervalo $$x$$ que divide nuestra octava en 12 semitonos de igual longitud. Si a nuestra primera nota, el “Do”, le asignamos la posición $$1$$, la siguiente nota (el “Do#”) estará en la posición $$x$$, la segunda en $$x^2$$, y así sucesivamente hasta el “DO” de la octava superior, que estará en la posición $$x^{12}$$. Como sabemos que la relación entre octavas es de 2/1, se debe cumplir por tanto que:

$$!x^{12} = 2$$

Y despejando $$x$$ en esta ecuación tenemos que:

$$!x = \sqrt[12]{2} = 2^{1/12}$$

Ya así, de esta forma tan sencilla hemos construido la escala temperada, a la que estamos acostumbrados, que gráficamente queda de la siguiente forma:

EscalaTemperada

Es decir, para pasar de una nota a la siguiente basta con multiplicar por $$2^{1/12}$$.

Si has llegado hasta aquí, te mereces un extra. ¿Sabes de dónde vienen los nombres de las notas? Tienen su origen en la edad media, cuando el italiano Guido de Arezzo utilizó la primera sílaba de un himno dedicado a San Juan para darles nombres a las notas:

Ut queant laxis
Resonare libris
Mira gestorum
Famuli tuorum
Solve polluti
Labii reatum
Sancte Joannes

La primera nota “Ut” no triunfó, ya que es difícil de pronunciar, y se acabó sustituyendo por “Do”.

¿Y el “Si”? Ese viene a partir de las iniciales de San Juan, que por aquel entonces se llamaba Sante Ioanes.

Imagen de cabecera: Enrique Alexandre
Ilustración de Pitágoras: Wikimedia Commons

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17 opiniones en “Pitágoras, las matemáticas y la música”

  1. Fantástica explicación! Una duda: por qué para calcular la quinta de sol (re) partes de la fracción 9/4 (fuera de la octava y antes de aplicarle 1/2) y sin embargo desde ese punto, para calcular las suguientes quintas de quintas, partes de la quinta dentro de la octava (después de aplicarle 1/2)? Gracias. Roberto

    1. Si me permites un par de preguntas más: no entiendo cuando dices que 3^10/2^10 es la ultima quinta (en ese punto de la explicación, claro). Yo diría que es 3^9/2^14, que multipic por 3/2 da 3^10/2^15.
      Además, continuas explicando que 3^10/2^10 entre dos daría 3^10/2^15. No sería 3^10/2^11?

      Creo que hay algo q no entiendo bien, de la estructura.

      1. Quizás no me he explicado bien. 3^10/2^10 es la última quinta, aunque como todas las demás queda fuera de la octava y es necesario dividir por 2 hasta que entre. Hay que dividir por 2 cinco veces, y de ahí sale el 3^10/2^15.

    2. Gracias por tu comentario Roberto. Si te fijas siempre se multiplica por 3/2 partiendo de la quinta anterior, aunque haya quedado fuera de la octava. Por eso salen expresiones como 9/4, 3^3/2^3, 3^4/2^4, etc.

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