Exámenes tipo test y estadística

Seguramente todos hemos tenido que hacer alguna vez en nuestra vida un examen tipo test, y con casi total seguridad alguno de ellos habrá sido de los temidos “que restan”. El caso más normal es un examen con 4 respuestas posibles, de las cuales sólo una es verdadera, y que descuenta 1/3 de punto por cada error que se cometa.

Pues bien, este valor no es aleatorio, y el hacer que los errores resten puntos tiene sentido, al menos desde el punto de vista del profesor. Otra cosa es que nos guste la idea, pero eso ya es otro cantar.

La idea de la que partimos es la siguiente: si el estudiante hace el test al azar, sin tener ni idea, debería sacar un cero.

Con esto en mente vamos a remangarnos y ponernos manos a la masa. Supongamos que tenemos un examen tipo test que consta de $$N$$ preguntas con $$M$$ respuestas posibles en cada pregunta, de las que sólo una es cierta. Que el estudiante haga el test al azar quiere decir que cualquiera de las $$M$$ respuestas posibles tiene la misma probabilidad de resultar elegida.

Supongamos ahora que por cada pregunta acertada sumamos un punto y que por cada pregunta fallada restamos $$x$$. Lo que tendremos es que para cada pregunta, la probabilidad de que acierte y sume un punto será $$\frac{1}{M}$$ y la probabilidad de que se equivoque y por tanto reste $$x$$ puntos será $$\frac{M-1}{M}$$.

Pues bien, con esto ya podemos calcular la esperanza matemática de la puntuación en una pregunta cualquiera, $$n_i$$, multiplicando las probabilidades de cada una de las cosas que pueden suceder por la puntuación que obtendríamos en ese caso:

$$!E[n_i] = \frac{1}{M} \cdot 1 + \frac{M-1}{M}\cdot (-x)$$

Si operamos un poco podemos dejar la expresión de la siguiente forma, algo más cómoda para trabajar:

$$!E[n_i] = \frac{1 – x \cdot (M-1)}{M}$$

Para calcular la calificación total del examen, lo que hacemos es sumar la puntuación obtenida en cada una de las ‘N’ preguntas, es decir:

$$!Nota = \frac{10}{N} \sum_{i=1}^{N} n_i$$

(El término $$10/N$$ sirve para normalizar la nota sobre 10 puntos independientemente del número de preguntas que haya en el test, aunque no afecta para nada al resultado de la demostración.)

La esperanza matemática es lineal, y por tanto podemos calcular la esperanza matemática de la nota final del examen como la suma de las esperanzas matemáticas de cada una de las notas individuales:

$$!E[Nota] =E \left [ \frac{10}{N} \sum_{i=1}^{N} n_i \right ] = \frac{10}{N} \sum_{i=1}^{N} E[n_i] $$

Sustituyendo el valor de $$E[n_i]$$ en la expresión anterior:

$$!E[Nota] = \frac{10}{N} \cdot \frac{N}{M} \cdot \left ( 1 – x \cdot \left (M-1 \right ) \right )$$

Si ahora recordamos nuestro objetivo inicial, que era que el estudiante obtenga un cero si realiza el test completamente al azar, no tememos más que igualar la expresión anterior a cero,

$$!E[Nota]=\frac{10}{N}\cdot\frac{N}{M} \cdot \left ( 1 – x \cdot \left (M-1 \right ) \right ) = 0$$

Por último sólo queda despejar el valor de x, con lo que se obtiene:

$$!x = \frac{1}{M-1}$$

Si pensamos ahora en el caso típico del que hablábamos al principio en el que había 4 respuestas posibles (M=4), podemos entender que cada error reste precisamente 1/3.

Si te toca hacer un examen de este tipo mi consejo es que en primer lugar te leas con mucha calma las preguntas y después contestes sólo a aquellas preguntas de las que estés seguro. Después, calcula la nota que sacarías sólo con esas respuestas, y valora cuántas de las otras preguntas, en las que tienes dudas, te puedes permitir responder sin asumir demasiados riesgos. Ten en cuenta que habrá preguntas en las que dudes sólo entre dos de las respuestas, por lo que en media por cada dos que contestes sacarás $$\frac{2}{3}$$ puntos.

NOTA: La idea para esta entrada ha surgido de esta noticia.

Imagen: Flickr

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